1. Kiến thức cần nhớ
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\). Khi đó:
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \({x_0}\) là:
\(k = f'\left( {{x_0}} \right)\)
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:
\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
Cho hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm hệ số góc của tiếp tuyến \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).
- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại \(M\): \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).
Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc \(k\) cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi \(\left( \Delta \right)\) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc \(k\).
- Bước 2: Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm. Khi đó \({x_0}\) thỏa mãn \(f'\left( {{x_0}} \right) = k\).
- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \({x_0} \Rightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\).
- Bước 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm.
Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) và điểm \(A\left( {a;b} \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến đi qua \(A\).
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và có hệ số góc \(k\). Khi đó \(\Delta :y = k\left( {x - a} \right) + b\)
- Bước 2: Để \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = k\left( {x - a} \right) + b\\f'\left( x \right) = k\end{array} \right.\) có nghiệm.
- Bước 3: Giải hệ phương trình trên tìm \(k\), thay vào ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
- Hệ số góc của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).
- Cho đường thẳng \(d:y = {k_d}x + a\).
+) \(\Delta \bot d \Rightarrow {k_\Delta }.{k_d} = - 1 \Leftrightarrow {k_\Delta } = - \dfrac{1}{{{k_d}}}\)
+) \(\Delta //d \Rightarrow {k_\Delta } = {k_d}\)
+) \(\left( {\Delta ,d} \right) = \alpha \Rightarrow \tan \alpha = \left| {\dfrac{{{k_\Delta } - {k_d}}}{{1 + {k_\Delta }.{k_d}}}} \right|\)
+) \(\left( {\Delta ,Ox} \right) = \alpha \Rightarrow {k_\Delta } = \pm \tan \alpha \)
