1. Kiến thức cần nhớ
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0. Khi đó:
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x0 là:
k=f′(x0)
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0;f(x0)) là:
y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số.
Cho hàm số (C):y=f(x) và điểm M(x0;y0)∈(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính đạo hàm f′(x) và tìm hệ số góc của tiếp tuyến k=f′(x0).
- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại M: y=f′(x0)(x−x0)+y0.
Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
- Bước 2: Giả sử M(x0;y0) là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn f′(x0)=k.
- Bước 3: Giải phương trình trên tìm x0⇒y0=f(x0).
- Bước 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=k(x−x0)+y0.
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm.
Cho đồ thị hàm số (C):y=f(x) và điểm A(a;b). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A.
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi Δ là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó Δ:y=k(x−a)+b
- Bước 2: Để Δ là tiếp tuyến của (C)⇔{f(x)=k(x−a)+bf′(x)=k có nghiệm.
- Bước 3: Giải hệ phương trình trên tìm k, thay vào ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
- Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x0;y0)∈(C) là k=f′(x0).
- Cho đường thẳng d:y=kdx+a.
+) Δ⊥d⇒kΔ.kd=−1⇔kΔ=−1kd
+) Δ//d⇒kΔ=kd
+) (Δ,d)=α⇒tanα=|kΔ−kd1+kΔ.kd|
+) (Δ,Ox)=α⇒kΔ=±tanα
