Video hướng dẫn giải
Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):
LG a
\(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\)
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{{\sin }^6}x} \right)' + \left( {{{\cos }^6}x} \right)' + \left( {3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)'\\
= 6{\sin ^5}x\left( {\sin x} \right)' + 6{\cos ^5}x\left( {\cos x} \right)'\\
+ 3.\left[ {\left( {{{\sin }^2}x} \right)'{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x\left( {{{\cos }^2}x} \right)'} \right]\\
= 6{\sin ^5}x\cos x + 6{\cos ^5}x\left( { - \sin x} \right)\\
+ 3\left[ {2\sin x\cos x{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x.2\cos x\left( { - \sin x} \right)} \right]\\
= 6{\sin ^5}x\cos x - 6{\cos ^5}x\sin x\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x - 6\cos x{\sin ^3}x\\
= \left( {6{{\sin }^5}x\cos x - 6\cos x{{\sin }^3}x} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x - 6{\cos ^5}x\sin x\\
= 6{\sin ^3}x\cos x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\\
= 6{\sin ^3}x\cos x.\left( { - {{\cos }^2}x} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x{\sin ^2}x\\
= - 6{\sin ^3}x{\cos ^3}x + 6{\sin ^3}x{\cos ^3}x\\
= 0\\
\Rightarrow y' = 0,\forall x
\end{array}\)
Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^6}x + {\cos ^6}x\\
= {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\
= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= {1^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.1\\
= 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
\Rightarrow y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1\\
\Rightarrow y' = \left( 1 \right)' = 0
\end{array}\)
LG b
\({\cos ^2}\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \dfrac{\pi }{3}+x \right ) + {\cos ^2}\left ( \dfrac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2} \left ( \dfrac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin x - \sin y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\)
Lời giải chi tiết:
\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} \)
\(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x\)
\( = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( - 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\)
\( = 1 + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \cos 2x\)
Do đó \(y' = \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( - 2\sin 2x\)
\(=\sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}-2x \right )\) \(- \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}+2x \right )- 2\sin 2x \)
\(= 2\cos \dfrac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \dfrac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x \)
\(= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\),
(Vì \(\cos \dfrac{2\pi }{3}\) = \(\cos \dfrac{4\pi }{3}\) = \( -\dfrac{1}{2}\).)
Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
y= 1 + \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\\
+ \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right] + \cos 2x\\
= 1 + \dfrac{1}{2}.2\cos \left( {\pi - 2x} \right)\cos \dfrac{\pi }{3}\\
+ \dfrac{1}{2}.2\cos \left( {\pi + 2x} \right)\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos 2x\\
= 1 - \cos 2x.\dfrac{1}{2} - \cos 2x.\dfrac{1}{2} + \cos 2x\\
= 1 - \cos 2x + \cos 2x = 1\\
\Rightarrow y = 1,\forall x\\
\Rightarrow y' = 0,\forall x
\end{array}\)
