Bài 6 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11

167 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc $x$ :

LG a

$\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x$

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l} y' = \left( {{{\sin }^6}x} \right)' + \left( {{{\cos }^6}x} \right)' + \left( {3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)'\\ = 6{\sin ^5}x\left( {\sin x} \right)' + 6{\cos ^5}x\left( {\cos x} \right)'\\ + 3.\left[ {\left( {{{\sin }^2}x} \right)'{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x\left( {{{\cos }^2}x} \right)'} \right]\\ = 6{\sin ^5}x\cos x + 6{\cos ^5}x\left( { - \sin x} \right)\\ + 3\left[ {2\sin x\cos x{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x.2\cos x\left( { - \sin x} \right)} \right]\\ = 6{\sin ^5}x\cos x - 6{\cos ^5}x\sin x\\ + 6\sin x{\cos ^3}x - 6\cos x{\sin ^3}x\\ = \left( {6{{\sin }^5}x\cos x - 6\cos x{{\sin }^3}x} \right)\\ + 6\sin x{\cos ^3}x - 6{\cos ^5}x\sin x\\ = 6{\sin ^3}x\cos x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right)\\ + 6\sin x{\cos ^3}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\\ = 6{\sin ^3}x\cos x.\left( { - {{\cos }^2}x} \right)\\ + 6\sin x{\cos ^3}x{\sin ^2}x\\ = - 6{\sin ^3}x{\cos ^3}x + 6{\sin ^3}x{\cos ^3}x\\ = 0\\ \Rightarrow y' = 0,\forall x \end{array}$

Vậy $y' = 0$ với mọi $x$ , tức là $y'$ không phụ thuộc vào $x$ .

Cách khác:

$\begin{array}{l} {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\\ = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ = {1^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.1\\ = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ \Rightarrow y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow y' = \left( 1 \right)' = 0 \end{array}$

LG b

${\cos ^2}\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \dfrac{\pi }{3}+x \right ) + {\cos ^2}\left ( \dfrac{2\pi }{3}-x \right )$ $+{\cos ^2} \left ( \dfrac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin x - \sin y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}$

Lời giải chi tiết:

$y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2}$

$+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x$

$= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)$ $+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)$ $+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)$ $+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)$ $- 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}$

$= 1 + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)$ $+ \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)$ $+ \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)$ $+ \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)$ $+ \cos 2x$

Do đó $y' = \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]$ $+ \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]$ $+ \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]$ $+ \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]$ $- 2\sin 2x$

$=\sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}-2x \right )$ $- \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}+2x \right )- 2\sin 2x$

$= 2\cos \dfrac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \dfrac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x$

$= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0$ ,

(Vì $\cos \dfrac{2\pi }{3}$ = $\cos \dfrac{4\pi }{3}$ = $-\dfrac{1}{2}$ .)

Vậy $y' = 0$ với mọi $x$ , do đó $y'$ không phụ thuộc vào $x$ .

Cách khác:

$\begin{array}{l} y= 1 + \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\\ + \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right] + \cos 2x\\ = 1 + \dfrac{1}{2}.2\cos \left( {\pi - 2x} \right)\cos \dfrac{\pi }{3}\\ + \dfrac{1}{2}.2\cos \left( {\pi + 2x} \right)\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos 2x\\ = 1 - \cos 2x.\dfrac{1}{2} - \cos 2x.\dfrac{1}{2} + \cos 2x\\ = 1 - \cos 2x + \cos 2x = 1\\ \Rightarrow y = 1,\forall x\\ \Rightarrow y' = 0,\forall x \end{array}$

SGK Toán lớp 11