Đề bài
Phương trình 2\tan x – 2 \cot x – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng ({{ - \pi } \over 2},\pi ) là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
B1: Đưa về phương trình bậc hai của tanx bằng công thức \cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}.
B2: Giải PT lượng giác , lấy các nghiệm thuộc khoảng ({{ - \pi } \over 2},\pi ) và KL.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\eqalign{ & 2\tan x - 2\cot x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\tan x - {2 \over {\tan x}} - 3 = 0 \cr & \Rightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = 2 \hfill \cr \tan x = {{ - 1} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr}
Vẽ đường tròn lượng giác với giá trị tanx = 2, \tan x = {{ - 1} \over 2} ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng ({{ - \pi } \over 2},\pi ).
Cách khác:
\left[ \begin{array}{l} \tan x = 2\\ \tan x = - \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arctan 2 + k\pi \\ x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.
\begin{array}{l} + ) - \frac{\pi }{2} < \arctan 2 + k\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arctan 2 < k\pi < \pi - \arctan 2\\ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan 2}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan 2}}{\pi }\\ \Rightarrow - 0,85 < k < 0,65\\ \Rightarrow k = 0\\ \Rightarrow x = \arctan 2\\ + ) - \frac{\pi }{2} < \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) < k\pi < \pi - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi }\\ \Rightarrow - 0,35 < k < 1,15\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right);\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi } \right\} \end{array}
Vậy có ba nghiệm cần tìm.
Chọn đáp án C.
