Đề bài
Cho hình tứ diện ABCDABCD
a) Chứng minh rằng: →AB.→CD+→AC.→DB+→AD.→BC=0.−−→AB.−−→CD+−−→AC.−−→DB+−−→AD.−−→BC=0.
b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCDABCD có AB⊥CDAB⊥CD và AC⊥DBAC⊥DB thì AD⊥BCAD⊥BC.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng quy tắc ba điểm.
Lời giải chi tiết
a) →AB.→CD=→AB.(→AD−→AC)−−→AB.−−→CD=−−→AB.(−−→AD−−−→AC)
→AC.→DB=→AC.(→AB−→AD)−−→AC.−−→DB=−−→AC.(−−→AB−−−→AD)
→AD.→BC=→AD.(→AC−→AB).−−→AD.−−→BC=−−→AD.(−−→AC−−−→AB).
Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:
→AB.→CD+→AC.→DB+→AD.→BC−−→AB.−−→CD+−−→AC.−−→DB+−−→AD.−−→BC
=→AB(→AD−→AC)=−−→AB(−−→AD−−−→AC) +→AC.(→AB−→AD)+−−→AC.(−−→AB−−−→AD) +→AD(→AC−→AB)+−−→AD(−−→AC−−−→AB)
=→AB.→AD−→AB.→AC=−−→AB.−−→AD−−−→AB.−−→AC +→AC.→AB−→AC.→AD+−−→AC.−−→AB−−−→AC.−−→AD +→AD.→AC−→AD.→AB+−−→AD.−−→AC−−−→AD.−−→AB
=→AB.→AD−→AD.→AB=−−→AB.−−→AD−−−→AD.−−→AB +→AC.→AB−→AB.→AC+−−→AC.−−→AB−−−→AB.−−→AC +→AD.→AC−→AC.→AD+−−→AD.−−→AC−−−→AC.−−→AD
=0+0+0=0=0+0+0=0
b) AB⊥CD⇒→AB.→CD=0,AB⊥CD⇒−−→AB.−−→CD=0,
AC⊥DB⇒→AC.→DB=0AC⊥DB⇒−−→AC.−−→DB=0
Từ đẳng thức câu a ta có:
⇒→AD.→BC=0⇒AD⊥BC.
