Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a.
a) Chứng minh BC′ vuông góc với mặt phẳng (A′B′CD)
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB′ và BC′
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh BC′⊥B′C;BC′⊥A′B′.
b) Xác định mặt phẳng (AB′D′) chứa AB′ và song song BC′, tìm hình chiếu của BC′ trên mặt phẳng (AB′D′).
Lời giải chi tiết
a) Ta có tứ giác BCC′B′ là hình vuông nên BC′⊥B′C (1)
Mặt khác A′B′⊥(BCC′B′)⇒A′B′⊥BC′ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BC′⊥(A′B′CD)
b) Do AD′//BC′ nên mặt phẳng (AB′D′) là mặt phẳng chứa AB′ và song song với BC′.
Ta tìm hình chiếu của BC′ trên mp(AB′D′)
Gọi E,F là tâm của các mặt bên ADD′A′ và BCC′B′
Từ F kẻ FI⊥B′E. Ta có BC′//AD′ mà BC′⊥(A′B′CD)
⇒AD′⊥(A′B′CD) và IF⊂(A′B′CD)
AD′⊥IF (3)
EB′⊥IF (4)
Từ (3) và (4) suy ra : IF⊥(AB′D′)
Vậy I là hình chiếu của F trên mp(AB′D′). Qua I ta dựng đường thẳng song song với BC′ thì đường thẳng này chính là hình chiếu của BC′ trên mp (AB′D′)
Đường thẳng qua I song song với BC′ cắt AB′ tại K. Qua K kẻ đường thẳng song song với IF, đường này cắt BC′ tại H. KH chính là đường vuông góc chung của AB′ và BC′. Thật vậy:
IF⊥(AB′D′)⇒IF⊥AB′ và KH//IF suy ra KH⊥AB′
BC′⊥(A′B′CD)IF⊂(A′B′CD)}⇒IF⊥BC′KH//IF}⇒KH⊥BC′
Tam giác EFB′ vuông góc tại F, FI là đường cao thuộc cạnh huyền nên 1IF2=1FB2+1FE2 với {FB′=a√22EF=a
Ta tính ra: IF=a√33⇒KH=IF=a√33
