Video hướng dẫn giải
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\).
LG a
Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\
{S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + (n - 1).d\\
\Rightarrow n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1;\;\;d = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{{n - 1}}\\
{S_n} = n.{u_1} + \frac{{n(n - 1)}}{2}.d\;\; \Rightarrow {u_1} = \frac{{2.{S_n} - n(n - 1).d}}{{2n}}\\
{S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\;\; \Rightarrow {u_1} = \frac{{2.{S_n} - n.{u_n}}}{n}
\end{array}\)
Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.
LG b
Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
| \({u_1}\) | d | \({u_n}\) | n | \({S_n}\) |
| -2 |
| 55 | 20 |
|
|
| -4 |
| 15 | 120 |
| 3 | \({4 \over {27}}\) | 7 |
|
|
|
|
| 17 | 12 | 72 |
| 2 | -5 |
|
| -205 |
Lời giải chi tiết:
Dòng đầu: Biết \({u_1} = - 2;{u_{20}} = 55\). Tìm d và \({S_{20}}\).
Ta có \({u_{20}} = {u_1} + 19d\)
\(\Leftrightarrow 55 = - 2 + 19d \Leftrightarrow d = 3\)
\({S_{20}} = \frac{{20\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right)}}{2} \) \(= \frac{{20.\left( { - 2 + 55} \right)}}{2} = 530\)
Dòng 2: Biết \(d = - 4;\,\,{S_{15}} = 120\), tìm \({u_1}\) và \({u_{15}}\).
Ta có \({S_{15}} = 15{u_1} + \frac{{15.\left( {15 - 1} \right)}}{2}.d \)
\(\Leftrightarrow 120 = 15.{u_1} + 105.\left( { - 4} \right) \)
\(\Leftrightarrow 15{u_1} = 540 \Leftrightarrow {u_1} = 36\)
\( \Rightarrow {u_{15}} = {u_1} + 14d = 36 + 14.\left( { - 4} \right) = - 20\)
Dòng 3: Biết \({u_1} = 3;\,\,d = {4 \over {27}};\,\,{u_n} = 7\). Tìm n và tính \({S_n}\).
Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \)
\(\Leftrightarrow 7 = 3 + \left( {n - 1} \right).{4 \over {27}} \Leftrightarrow n = 28\)
\({S_{28}} = 28{u_1} + \frac{{28.\left( {28 - 1} \right)}}{2}.d \)
\(= 28.3 + 378.\frac{4}{{27}} = 140\)
Dòng 4: Biết \({u_{12}} = 17\) và \({S_{12}} = 72\). Tìm \({u_1}\) và \(d\).
\(\begin{array}{l}
{S_{12}} = \frac{{12\left( {{u_1} + {u_{12}}} \right)}}{2}\\
\Leftrightarrow 72 = \frac{{12\left( {{u_1} + 17} \right)}}{2}\\
\Leftrightarrow {u_1} + 17 = 12\\
\Leftrightarrow {u_1} = - 5\\
{u_{12}} = {u_1} + 11d\\
\Leftrightarrow 17 = - 5 + 11d\\
\Leftrightarrow 22 = 11d \Leftrightarrow d = 2
\end{array}\)
Dòng 5: Biết \({u_1} = 2;d = - 5\) và \({S_n} = - 205\). Tìm n và tính \({u_n}\).
Ta có
\(\begin{array}{l}
{S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\\
\Leftrightarrow - 205 = n.2 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\left( { - 5} \right)\\
\Leftrightarrow - 410 = 4n - 5n\left( {n - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 5{n^2} - 9n - 410 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 10\\
n = - \frac{{41}}{5}\left( {loai} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow n = 10\\
\Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d\\
= 2 + 9.\left( { - 5} \right) = - 43
\end{array}\)
Vậy ta điền được bảng như sau :
| \({u_1}\) | d | \({u_n}\) | n | \({S_n}\) |
| -2 | 3 | 55 | 20 | 530 |
| 36 | -4 | -20 | 15 | 120 |
| 3 | \({4 \over {27}}\) | 7 | 28 | 140 |
| -5 | 2 | 17 | 12 | 72 |
| 2 | -5 | -43 | 10 | -205 |
