Đề bài
Cho tứ diện ABCDABCD. Gọi M,NM,N lần lượt là trung đểm của các cạnh AB,CDAB,CD và GG là trung điểm của đoạn MNMN
a) Tìm giao điểm A′ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD)
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA′ và Mx cắt (BCD) tại M′. Chứng minh B,M′,A′ thẳng hàng và BM′=M′A′=A′N.
c) Chứng minh GA=3GA′.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Trong (ABN): Gọi A′=AG∩BN.
b) Sử dụng định lí đường trung bình của tam giác.
c) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
Lời giải chi tiết
a) Có: MN⊂(ABN)
⇒G∈(ABN)⇒AG⊂(ABN).
Trong (ABN): Gọi A′=AG∩BN
⇒A′∈BN⊂(BCD).
⇒A′∈(BCD)⇒A′=AG∩(BCD)
b) Ta có: {MM′//AA′AA′⊂(ABN)M∈AB⊂(ABN) ⇒MM′⊂(ABN)
Suy ra {M′∈(ABN)M′∈(BCD)
⇒M′∈(ABN)∩(BCD)=BN.
Mà A′ cũng thuộc BN nên M′,A′,B thẳng hàng (cùng nằm trên BN).
*) Xét tam giác NMM′ có:
+) G là trung điểm của NM.
+) GA′//MM′
⇒A′ là trung điểm của NM′
Xét tam giác BAA′ có:
+) M là trung điểm của AB
+) MM′//AA′
⇒M′ là trung điểm của BA′
Do đó: BM′=M′A′=A′N.
c) Ta có MM′=12AA′
⇒GA′=12MM′=12.12AA′=14AA′
⇒GA=AA′−GA′ =AA′−14AA′=34AA′
⇒GA′GA=14AA′34AA′=13 ⇒GA=3GA′
