Bài toán
Gọi P(n) là một mệnh đề chứa biến n(n∈N∗). Chứng minh P(n) đúng với mọi số tự nhiên n∈N∗.
Phương pháp quy nạp toán học
- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n=1.
- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n=k≥1, chứng minh P(n) cũng đúng khi n=k+1.
Chú ý:
Đối với bài toán chứng minh P(n) đúng với mọi n≥p với p là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n=p.
- Bước 2: Với k≥p là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n=k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n=k+1.
Ví dụ: Chứng minh n7−n chia hết cho 7 với mọi n∈N∗.
Giải:
Đặt P(n)=n7−n.
- Với n=1 thì P(1)=17−1=0⋮7 nên P(1) đúng.
- Giả sử mệnh đề đúng với n=k∈N∗, tức là P(k)=(k7−k)⋮7.
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1, tức là: P(k+1)=(k+1)7−(k+1)⋮7
Ta có: (k+1)7−(k+1) =C07.k7+C17.k6+C27.k5+C37.k4 +C47.k3+C57.k2+C67.k+C77−(k+1)
=k7+7k6+21k5+35k4+35k3 +21k2+7k+1−k−1 =(k7−k)+7(k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k)
Do (k7−k)⋮7 và 7(k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k)⋮7 nên P(k+1)=(k+1)7−(k+1)⋮7.
Vậy mệnh đề đã cho đúng.
