Đề bài
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin(x−π3)=√32
b) cos(2x+300)=12
c) cos2x−3sinx=1
d) sin3x+4cos2x−sinx=0
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=6sin2x−8cos2x−2
Lời giải chi tiết
Bài 1:
a)sin(x−π3)=√32
⇔sin(x−π3)=sinπ3
⇔[x−π3=π3+k2πx−π3=π−π3+k2π
⇔[x=2π3+k2πx=π+k2π(k∈Z)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=π+k2π,x=2π3+k2π(k∈Z)
b)cos(2x+300)=12
⇔cos(2x+300)=cos600
⇔[2x+300=600+k36002x+300=−600+k3600
⇔[x=150+k1800x=−450+k1800(k∈Z)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=150+k1800, x=−450+k1800(k∈Z)
c)cos2x−3sinx=1⇔1−sin2x−3sinx=1⇔sin2x+3sinx=0⇔sinx(sinx+3)=0
⇔[sinx=0sinx=−3⇔sinx=0
(sinx=−3 vô nghiệm vì −1≤sinx≤1 )
⇔x=kπ(k∈Z)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=kπ(k∈Z)
d)sin3x+4cos2x−sinx=0
⇔3sinx−4sin3x+4(1−2sin2x)−sinx=0
⇔2sin3x+4sin2x−sinx−2=0(1)
Đặt sinx=t(|t|≤1)
Khi đó phương trình (1) trở thành 2t3+4t2−t−2=0
⇔(t+2)(2t2−1)=0
⇔[t=−2(KTM)t=±1√2(TM)
Với t=1√2⇒sinx=1√2
⇔sinx=sinπ4
⇔[x=π4+k2πx=3π4+k2π(k∈Z)
Với t=−1√2⇒sinx=−1√2
⇔sinx=sin(−π4)
⇔[x=−π4+k2πx=5π4+k2π(k∈Z)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=±π4+k2π; x=3π4+k2π; x=5π4+k2π(k∈Z)
Bài 2:
y=6sin2x−8cos2x−2=10(35sin2x−45cos2x)−2
Đặt cosα=35;sinα=45
Khi đó
y=10(cosαsin2x−sinαcos2x)−2=10sin(2x−α)−2
Ta có: −1≤sin(2x−α)≤1
⇔−10≤10sin(2x−α)≤10
⇔−12≤y≤8(∀x∈R)
Vậy min khi \sin (2x - \alpha ) = - 1
\Leftrightarrow 2x - \alpha = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi
\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + \dfrac{\alpha }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})
\max y = 8\,\,\, khi \,\sin (2x - \alpha ) = 1
\Leftrightarrow 2x - \alpha = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi
\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\alpha }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})
