Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x-y+2=0\). Viết phương trình của đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng trục \(Oy\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách 1:
Bước 1: Lấy hai điểm \(A, B\) bất kì thuộc đường thẳng \(d.\)
Bước 2: Gọi \(A'; B'\) lần lượt là ảnh của \(A, B\) qua phép đối xứng trục \(Oy\), tìm tọa độ điểm \(A'; B'\) (Ảnh của điểm \(M(x;y)\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) là \(M'(-x;y)).\)
Bước 3: Ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) là đường thẳng \(A'B'\). Viết phương trình đường thẳng \(A'B'.\)
Cách 2: Sử dụng biểu thức tọa độ.
Gọi \(M'(x', y')\) là ảnh của \(M (x;y)\) qua phép đối xứng trục \(Oy\). Rút x, y\) theo x'\) và y'\) và thế vào phương trình đường thẳng \(d.\)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Cho \(x = 0\) suy ra \(-y+2=0\) hay \(y = 2.\)
Cho \(x = -1\) suy ra \(-3.(-1)-y+2=0\) hay \(y= -1.\)
Do đó ta được hai điểm \(A(0;2)\) và \(B (-1;-1)\) thuộc \(d\).
Gọi \(A'\) = \({D_{Oy}}(A)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = - {x_A} = 0\\
{y_{A'}} = {y_A} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;2} \right)\)
\(B'\) = \({D_{Oy}} (B)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{B'}} = - {x_B} = 1\\
{y_{B'}} = {y_B} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {1; - 1} \right)\)
Khi đó ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) là đường thẳng \(A'B'.\)
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{A'B'}}} = \left( {3;1} \right)\) là VTPT của \(A'B'.\)
Mà \(A'B'\) đi qua \(A'(0;2)\) nên có phương trình:
\(3(x-0) + 1.(y-2) =0\) hay \(3x+y-2=0.\)
Cách 2:
Gọi \(M(x;y)\) bất kì thuộc \(d\), \(M'(x', y')\) là ảnh của \(M (x;y)\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) nên \(M'\) thuộc \(d'\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.\)
Ta có \(M\) thuộc \(d ⇔ 3x-y+2 =0\) \(⇔ -3x' - y' + 2=0\)
\( ⇔ M' \) thuộc đường thẳng \(d'\) có phương trình \(3x + y - 2 = 0\)
