Đề bài
Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ diện \(ABCD\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\) thì \(AC = BD\) và \(AD = BC\).
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Theo giả thiết \(IJ \, \bot \, AB, IJ \, \bot \, CD\).
Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(d \, // \, CD\), lấy trên \(d\) điểm \(E, F\) sao cho \(IE = IF = \dfrac{CD}{2}\)
Ta có \(IJ \, \bot \, CD\,\, (gt) \Rightarrow IJ \bot EF\), lại có \(IJ \, \bot \, AB \, \,(gt)\)
\(\Rightarrow IJ \, \bot \, (AEBF)\).
Ta có \(CDFE\) là hình bình hành có \(IJ\) là đường trung bình
\( \Rightarrow CE \, // \, DF \, // \, IJ\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CE \, \bot \, \left( {AEBF} \right) \Rightarrow CE \, \bot \, BE\\DF \, \bot \, \left( {AEBF} \right) \Rightarrow DF \, \bot \, AF\end{array} \right.\)
Ta có: \(\Delta AIF = \Delta BIE(c.g.c)\) suy ra: \(AF=BE\)
Xét \(∆DFA\) và \(∆CEB\) có:
+) \(\widehat E = \widehat F( = {90^0})\)
+) \(AF=BE\)
+) \(DF=CE\)
\(\Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c) \Rightarrow AD = BC\).
Chứng minh tương tự ta được \(BD = AC\).
