Đề bài
Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh ABAB và CDCD của tứ diện ABCDABCD là đường vuông góc chung của ABAB và CDCD thì AC=BDAC=BD và AD=BCAD=BC.
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Gọi I,JI,J lần lượt là trung điểm của AB,CDAB,CD. Theo giả thiết IJ⊥AB,IJ⊥CDIJ⊥AB,IJ⊥CD.
Qua II kẻ đường thẳng d//CDd//CD, lấy trên dd điểm E,FE,F sao cho IE=IF=CD2IE=IF=CD2
Ta có IJ⊥CD(gt)⇒IJ⊥EFIJ⊥CD(gt)⇒IJ⊥EF, lại có IJ⊥AB(gt)IJ⊥AB(gt)
⇒IJ⊥(AEBF)⇒IJ⊥(AEBF).
Ta có CDFECDFE là hình bình hành có IJIJ là đường trung bình
⇒CE//DF//IJ⇒CE//DF//IJ
⇒{CE⊥(AEBF)⇒CE⊥BEDF⊥(AEBF)⇒DF⊥AF
Ta có: ΔAIF=ΔBIE(c.g.c) suy ra: AF=BE
Xét ∆DFA và ∆CEB có:
+) ˆE=ˆF(=900)
+) AF=BE
+) DF=CE
⇒∆DFA=∆CEB(c.g.c)⇒AD=BC.
Chứng minh tương tự ta được BD=AC.
