Đề bài
Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((1 - 3x)^n\) là \(90\). Tìm \(n\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của nhị thức Newton:
\[{T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\]
Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}};\,\,\dfrac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}}\).
Để tìm hệ số của \(x^2\) ta cho số mũ của x bằng 2, giải phương trình tìm n.
Lời giải chi tiết
Số hạng tổng quát:
\(\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = C_n^k{.1^{n - k}}.{\left( { - 3x} \right)^k}\\ = C_n^k.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}\end{array}\)
Hệ số của \({x^2}\) ứng với \(k = 2\) hay hệ số của \({x^2}\) là \(C_n^2.{\left( { - 3} \right)^2} = 9C_n^2\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}9C_n^2 = 90 \Leftrightarrow C_n^2 = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 20\\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\left( \text{Thỏa mãn} \right)\\n = - 4\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(n = 5\).
