Đề bài
Giải các phương trình
a) \(2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)
b) \(3\cos x + 4\sin x = 5\)
c) \(\sin x + \cos x = 1 + \sin x. \cos x\)
d) \(\sqrt {1 - \cos x} = \sin x(x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right])\)
e) \((\cos{x \over 4} - 3\sin x)\sin x + (1 + \sin{x \over 4} - 3\cos x)\cos x\)\( = 0\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình lượng giác cơ bản.
b) Chia cả hai vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
c) Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình lượng giác cơ bản.
d) Bình phương hai vế, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
e) Phá ngoặc và nhóm các hạng tử phù hợp.
Lời giải chi tiết
a)
\(\eqalign{
& 2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}({\cos ^2}x - {\sin ^2}x) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos2x = \cos 2x\cr& \Leftrightarrow \cos 2x(2\sin {x \over 2} - 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
\left[ \matrix{
{x \over 2} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
{x \over 2} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + \frac{k\pi}{2} \hfill \cr
x = {\pi \over 3} + k4\pi \hfill \cr
x = {{5\pi } \over 3} + k4\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb Z) \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& 3cos{\rm{ }}x + 4sin{\rm{ }}x = 5 \cr
& \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos x\cos \varphi + \sin x\sin \varphi = 1\cr&(\text { với }cos\varphi = {3 \over 5};\sin \varphi = {4 \over 5}) \cr
& \Leftrightarrow \cos (x - \varphi ) = 1 \cr
& \Leftrightarrow x - \varphi = k2\pi \,\,\,(k \in\mathbb Z) \cr
& \Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi \,\,\,(k \in\mathbb Z)\cr} \)
\(c) \,\,sin x + cosx = 1 + sinx. cosx\)
\(⇔ sin x – sin x. cosx + cosx – 1= 0\)
\(⇔ sin x ( 1 – cosx) – (1 – cosx) = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x - 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr
sinx = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr} \)
d) Điều kiện \(\sin x ≥ 0\). Khi đó:
\(\eqalign{
& \sqrt {1 - \cos x} = \sin x \cr
& \Leftrightarrow 1-\cos x = {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - \cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x(cosx - 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0 \hfill \cr
\cos x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\)
\(\begin{array}{l}
\pi \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{2} \\ \mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} \left[ \begin{array}{l}
k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{2}\,\,\left( {ktm\,\,\sin x \ge 0} \right)\\
k = 2\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
\pi \le k2\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \,\,\left( {tm} \right)
\end{array}\)
Vì \(\sin \frac{{5x}}{4} \le 1;\,\,\cos x \le 1 \Rightarrow \sin \frac{{5x}}{4} + \cos x \le 2 < 3 \Rightarrow \) phương trình trên vô nghiệm.
