I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
1. Công thức nhị thức Niu - Tơn
Với a,b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n≥1, ta có:
(a+b)n=C0nan+C1nan−1b+...+
Cn−1nabn−1+Cnnbn(1)
Ví dụ:
Viết khai triển (a+b)5.
Hướng dẫn:
Ta có:
(a+b)5
=C05a5+C15a4b+C25a3b2 +C35a2b3+C45ab4+C55b5
=a5+5a4b+10a3b2 +10a2b3+5ab5+b5
2. Quy ước
Với a là số thực khác 0 và n là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:
a0=1; a−n=1an.
3. Chú ý
Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện a và b đều khác 0, có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:
(a+b)n=n∑k=0Cknan−kbk=n∑k=0akbn−k
Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.
II. Tam giác Pa-xcan
1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng
2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan
- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng 1.
- Xét hai số ở cột k và cột k+1, đồng thời cùng thuộc dòng n, (k≥0;n≥1), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột k+1 và dòng n+1.
3. Tính chất của tam giác Pa-xcan
Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:
a) Giao của dòng n và cột k là Ckn
b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:
Ckn+Ck+1n=Ck+1n+1
c) Các số ở dòng n là các hệ số trong khai triển của nhị thức (a+b)n (theo công thức nhị thức Niu - Tơn), với a,b là hai số thực tùy ý.
Chẳng hạn, các số ở dòng 4 là các hệ số trong khai triển của (a+b)4 (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
