Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, AH\) là đường cao kẻ từ \(A\). Tìm một phép đồng dạng biến tam giác \(HBA\) thành tam giác \(ABC\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình:
- Phép đối xứng qua đường thẳng \(d,\) với \(d\) là phân giác của góc \(B.\)
- Phép vị tự tâm \(B,\) tỉ số \(AC/AH.\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(d\) là đường phân giác của \( \widehat{B}\).
Gọi \(A' = {D_d}\left( H \right),C' = {D_d}\left( A \right)\).
Dễ thấy \(A'\in AB, C'\in BC\).
Ta có \({D_{d}}\) biến \(∆HBA\) thành \(∆A'BC'\).
Suy ra \(∆HBA\)=\(∆A'BC'\) nên góc \(A'=H=90^0\)
\(\Rightarrow C'A'//CA\)
Theo định lý Ta-let có \(\frac{{BA}}{{BA'}} = \frac{{BC}}{{BC'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{AC}}{{AH}}=k\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {BA}=k\overrightarrow {BA'}\) \(\Rightarrow {V_{\left( {B;k} \right)}}\left( {A'} \right) = A\)
\(\overrightarrow {BC}=k\overrightarrow {BC'}\)\(\Rightarrow {V_{\left( {B;k} \right)}}\left( {C'} \right) = C\)
Mà \({V_{\left( {B;k} \right)}}\left( B \right) = B\) nên \({V_{\left( {B;k} \right)}}\left( {\Delta A'BC'} \right) = \Delta ABC\).
Do đó phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp \({D_{d}}\) và \({V_{(B,k)}}\) sẽ biến \( \bigtriangleup\)\(HBA\) thành \( \bigtriangleup\)\(ABC\)
