HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 1}}\)
ĐS:\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
b)\(f\left( x \right) = \dfrac{{2\tan x + 2}}{{\cos x - 1}}\)
ĐS: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
c) \(f\left( x \right) = \dfrac{{\cot x}}{{\sin x + 1}}\)
ĐS: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Bài 2. Tìm chu kì của các hàm số sau:
a) \(y = \sin \sqrt x \)
ĐS:Hàm số không tuần hoàn
b) \(y = \sin 2x\)
ĐS: \(T = \pi \)
c) \(y = \tan x + \cot 2x\)
ĐS:\(T = \pi \)
Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a) \(y = \sqrt {1 + \sin x} + 2;\)
ĐS: GTNN=2 khi \(x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
GTLN=\(2 + \sqrt 2 \) khi \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(y = 3\sin x + 4\cos x;\)
ĐS: GTNN=\( - \dfrac{1}{5}\) khi \(x = - \alpha - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi\)\( \left( {k \in \mathbb{Z};\cos \alpha = \dfrac{3}{5};\sin \alpha = \dfrac{4}{5}} \right)\)
GTLN=\(\dfrac{1}{5}\) khi \(x = - \alpha + \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z};\cos \alpha = \dfrac{3}{5};\sin \alpha = \dfrac{4}{5}} \right)\)
c) \(y = \left( {\sin x - 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)\)\( - 1\)
ĐS: GTNN=\( - \dfrac{7}{2}\) khi \(x = \alpha - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z};\cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }};\sin \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)\);
GTLN=\(\dfrac{3}{2}\) khi \(x = \alpha + \dfrac{\pi }{4} + k\pi\)\( \left( {k \in \mathbb{Z};\cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }};\sin \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)\)
Bài 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\cos \left( {2x - {{60}^0}} \right) + \sin x = 0\);
ĐS: \(x \in \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ; - \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
b) \(3\tan 3x + \cot 3x - 4 = 0\);
ĐS: \(x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{3};\dfrac{1}{3}\arctan \dfrac{1}{3} + \dfrac{{k\pi }}{3}} \right\}\)
c) \(4{\cos ^2}x - 3\sin x\cos x - {\sin ^2}x = 3\);
ĐS: \(x \in \left\{ { - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;{\mathop{\rm arccot}\nolimits} 4 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
d) \({\sin ^2}4x + {\sin ^2}3x = {\sin ^2}2x + {\sin ^2}x\);
ĐS: \(x \in \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2};\dfrac{{k\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) \(\cos 4x + 2{\cos ^2}x = 3\)
ĐS: \(x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \({\cos ^3}x + \sin x - 3{\sin ^2}x\cos x = 0\)
ĐS: \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x = - \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(1 + {\cos ^3}x - {\sin ^3}x = \sin 2x\)
ĐS: \(x = k2\pi ;x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)
d) \(\sin 2x + \cos 2x + 3\sin x - \cos x - 2 = 0\)
ĐS: \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình \(3\sin x + m\cos x = 5\) vô nghiệm.
ĐS: \( - 4 < m < 4\)
Bài 7. Tìm m để phương trình \({\sin ^2}x + 4\sin x\cos x + 2m{\cos ^2}x = 0\) có nghiệm
ĐS: \(m \le 2\)
Bài 8. Tìm m để phương trình \(\left( {3\cos x - 2} \right)\left( {2\cos x + 3m - 1} \right) = 0{\rm{ }}\)có 3 nghiệm phân biệt \(x \in \left( {0\;;\;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
ĐS: \(\dfrac{1}{3} < m < 1\)
TỔ HỢP - XÁC SUẤT
Bài 1. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được
a) Bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số;
Có: \(5.6.6.6 = 1080\) số
b) Bao nhiêu số lẻ với bốn chữ số khác nhau;
Có 144 số
c) Bao nhiêu số chẵn với bốn chữ số khác nhau;
Có 156 số
d) Bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3
Có 96 số
Bài 2. Một người có 7 cái áo màu hồng, 3 cái áo màu đỏ và 11 cái áo màu xanh. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn hai cái áo màu khác nhau ? (131 cách)
Bài 3. An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. 9 bạn được xếp vào 9 ghế thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 9 bạn sao cho An và Bình không ngồi cạnh nhau?( 282240 cách)
Bài 4. Có 10 khách được xếp vào một bàn tròn có 10 chỗ. Tính số cách xếp ( hai cách xếp được coi là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó) (9! cách)
Bài 5. Trong mặt phẳng cho 5 đường thẳng song song \({a_1},{a_2},{a_3},{a_4},{a_5}\) và 7 đường thẳng song song \({b_1},{b_2},{b_3},{b_4},{b_5},{b_6},{b_7}\)đồng thời cắt 5 đường thẳng trên. Tính số hình bình hành tạo nên bởi 12 đường thẳng đã cho(\(C_5^2.C_7^2\) hình)
Bài 6. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn \(A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5\). (ĐS:n=5)
Bài 7. Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu - tơn của biểu thức\({\left( {2\alpha x + \dfrac{1}{{2\alpha {x^2}}}} \right)^6},\alpha > 0\) bằng 64. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.
ĐS: \(C_6^4\)
Bài 8. Tìm hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^n}\) biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024 (ĐS: 210).
Bài 9. Tính \(S = 32{x^5} - 80{x^4} + 80{x^3} - 40{x^2} +\)\( 10x - 1\)
ĐS: \(S = {(2x - 1)^5}\).
Bài 10. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng sau theo n:
\(S = C_n^0 + \dfrac{{{2^2} - 1}}{2}C_n^1 + \dfrac{{{2^3} - 1}}{3}C_n^2 + ... \)\(+ \dfrac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n\)
ĐS: \(\dfrac{{{3^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}\)
Bài 11. Một hộp chứa 15 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp trên. Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu khác màu. (ĐS: 15/38)
Bài 12. Ba bạn A, B, C, mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;19]. Tính xác suất để 3 số được viết ra có tổng chia hết cho 3. (ĐS: 2287/6859)
Bài 13. Một đa giác đều 12 đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_{12}}\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó, tính xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật. (ĐS:1/33)
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) , ta có:
a)\({1^2} + {2^2} + ... + {n^2}=\dfrac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\).
b) \({n^3} + 3{n^2} + 5n\) chia hết cho 3.
Bài 2. Tìm số hạng đầu, công sai, số hạng thứ 15 và tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng vô hạn (un), biết:
a) \(\left\{ \begin{array}{c}{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10\\{u_1} + {u_6} = 17\end{array} \right.\)
ĐS: \({u_1} = \dfrac{8}{3};d = \dfrac{7}{3};{u_{15}} = \dfrac{{106}}{3};{S_{15}} = 285\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right.\)
ĐS:
TH1: \(d = \dfrac{{21}}{5};{u_1} = - 12;\)\({u_{15}} = \dfrac{{234}}{5};{S_{15}} = 261\)
TH2: \(d = 3;{u_1} = 0;{u_{15}} = 42;{S_{15}} = 315\)
Bài 3. Tìm x để 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, với:
a) \(a = 10 - 3x;\,\,b = 2{x^2} + 3;\,\,c = 7 - 4x\)
b) \(a = x + 1;\,\,b = 3x - 2;\,\,c = {x^2} - 1\)
ĐS:
a) \(x = 1\) hoặc \(x = - \dfrac{{11}}{4}\)
b) \(x = 1\) hoặc \(x = 4\)
Bài 4. Tìm \({u_1}\) và công bội q của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 65\\{u_1} + {u_7} = 325\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} + {u_5} = - 21\\{u_2} + {u_4} = 10\end{array} \right.\)
ĐS:
a) \({u_1} = 12;q = 2\)
b) \(q = 2;{u_1} = 5\) hoặc \(q = - 2;{u_1} = 5\)
c) \(q = - 2;{u_1} = - 1\) hoặc \(q = - \dfrac{1}{2};{u_1} = - 16\)
Bài 5. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng bằng 14 và tổng bình phương của chúng bằng 84.
ĐS: \(\left( {a,b,c} \right) \in \left\{ {\left( {2,4,8} \right),\left( {8,4,2} \right)} \right\}\)
Bài 6. Cho 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng:
a)\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = {\left( {ab + bc} \right)^2}\);
b)\({\left( {bc + ac + cb} \right)^3} = abc{\left( {a + b + c} \right)^3}\)
Bài 7. Cho 3 số a, b, c có tổng bằng 26 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Lần lượt cộng thêm 1; 6; 3 đơn vị lần lượt vào a, b, c ta được 3 số mới lập thành một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.
ĐS: \(a = 18,b = 6,c = 2\) hoặc\(a = 2,b = 6,c = 18\).
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm \(A\left( {6; - 5} \right),B\left( { - 2;7} \right)\), đường thẳng \(d: - 2{\rm{x}} + y + 1 = 0\), đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\). Tìm ảnh của điểm A, B, d và (C) qua các phép biến hình sau:
a) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( {2; - 1} \right)\)
b) Phép đối xứng trục Ox, trục \(d:2{\rm{x}} - y = 0\)
c) Phép đối xứng tâm O
d) Phép đối xứng tâm \(I\left( {2;3} \right)\)
e) Phép quay tâm O góc quay \(90^\circ \)
f) Phép quay tâm O góc quay \( - 90^\circ \)
g) Phép vị tự tâm O, tỉ số \( - 3\)
h) Phép vị tự tâm \(I\left( { - 3;1} \right)\) tỉ số \(\dfrac{1}{2}\).
i) Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm và phép đối xứng trục Oy.
j) Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Ox và phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow u \left( { - 2;1} \right)\)
k) Phép đồng dạng bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(I\left( { - 1;0} \right)\) tỉ số 2 và phép quay tâm O góc quay \(90^\circ \)
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD, gọi I là giao của AC và BD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng hai hình thang AEIB và CFID bằng nhau.
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG.
Bài 1. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SBC,ABC\). Chứng minh \({G_1}{G_2}//\left( {SAC} \right)\).
Bài 2. Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\) có đáy \(ABC{\rm{D}}\) là tứ giác lồi có các cạnh đối khônng song song với nhau.
a) Xác định giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Xác định giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
c) Xác định giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Bài 3. Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\) có đáy \(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành, M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC.
a) Xác định \(I = AN \cap \left( {SBD} \right)\)
b) Xác định \(J = MN \cap \left( {SBD} \right)\)
c) Chứng minh I, J, B thẳng hàng.
Bài 4. Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\) có đáy \(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD.
a) Chứng minh \(A'B'C'D'\) là hình bình hành.
b) Gọi M là điểm bất kì trên BC. Tìm giao tuyến của \(\left( {A'B'M} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
c) Gọi O là tâm của đáy \(ABC{\rm{D}}\). Chứng minh \(OA'\) song song với \(\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)\).
Bài 5. Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\), M là điểm tùy ý trong tam giác SCD. Biết AB không song song với CD.
1. Xác định:
a) \(\left( {SMB} \right) \cap \left( {SAC} \right)\)
b) \(MB \cap \left( {SAC} \right)\)
2. Tìm thiết diện của mặt phẳng \((MAB)\) với hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\).
3. Chứng minh \(AB,C{\rm{D}},\Delta \) đồng qui với \(\Delta \) là giao tuyến của \(\left( {MAB} \right)\) và \(\left( {SC{\rm{D}}} \right)\).
Bài 6. Cho hình hộp \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'\)
a) Chứng minh \(\left( {BDA'} \right)//\left( {B'D'C} \right)\).
b) Chứng minh đường chéo AC’ đi qua trọng tâm \({G_1},{G_2}\) của hai tam giác \(B{\rm{D}}A'\) và \(B'D'C\) và \(A{G_1} = {G_1}{G_2} = {G_2}C'\).
c) M là trung điểm của BC, xác định thiết diện của hình hộp cắt bới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua M và song song với \(\left( {A'B{\rm{D}}} \right)\).
d) Gọi E, F lần lượt là 2 điểm di động trên cạnh AB và A’D’ sao cho \(AE = kEB,FD' = kFA'\)(k là số dương). Chứng minh EF song song với một mặt phẳng cố định.
