Câu 1 (3,0 điểm):
Tính các giới hạn sau đây:
a) limx→3(x3−2x+1)
b) limx→2x2−10x+16x−2
c) lim2n2+n−15−n
Câu 2 (2,5 điểm):
Cho hàm số y=2x2−3x+1 có đồ thị là parabol (P).
a) Tính đạo hàm y′ của hàm số đã cho và giải phương trình y′=0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm có hoành độ x0=−1.
Câu 3 (3,5 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,AD=a√2, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a√3 (với a>0). Gọi M,N lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng SB,SD sao cho AM vuông góc với SB và AN vuông góc với SD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và H là trung điểm của đoạn thẳng SC.
a) Chứng minh rằng đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (SAD) và đường thẳng AN vuông góc với mặt phẳng (SCD).
b) Gọi góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SCD) là φ. Tính sinφ.
c) Tính độ dài đoạn thẳng IH theo a.
Câu 4 (1,0 điểm):
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện 7a+b+3c=0. Chứng minh rằng phương trình ax2+bx+c=2020cosπx2 có ít nhất một nghiệm trên R.
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Câu 1 (VD):
Phương pháp:
a) Thay x=3 vào hàm số dưới dấu giới hạn.
b) Khử dạng vô định bằng cách phân tích tử thành nhân tử.
c) Chia cả tử và mẫu cho n và áp dụng quy tắc tính giới hạn.
Cách giải:
Tính các giới hạn sau đây:
a) limx→3(x3−2x+1)
limx→3(x3−2x+1) =33−2.3+1=22
b) limx→2x2−10x+16x−2
limx→2x2−10x+16x−2=limx→2(x−2)(x−8)x−2=limx→2(x−8)=2−8=6
c) lim2n2+n−15−n
lim2n2+n−15−n=limn2(2+1n−1n2)n(5n−1)=lim[n.2+1n−1n25n−1]=−∞
Vì limn=+∞ và lim2+1n−1n25n−1 =2+0−00−1=−2<0.
Câu 2 (VD):
Phương pháp:
a) Sử dụng công thức (xn)′=nxn−1 tính y′.
b) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm M0(x0;y0) là:
y=f′(x0)(x−x0)+y0
Cách giải:
Cho hàm số y=2x2−3x+1 có đồ thị là parabol (P).
a) Tính đạo hàm y′ của hàm số đã cho và giải phương trình y′=0.
y′=(2x2)′−(3x)′+(1)′=2.2x−3.1+0=4x−3y′=0⇔4x−3=0⇔4x=3⇔x=34
Vậy với x=34 thì y′=0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm có hoành độ x0=−1.
Đặt y=f(x)=2x2−3x+1.
Với x0=−1 thì y0=f(−1) =2.(−1)2−3.(−1)+1=6
Hệ số góc của tiếp tuyến: k=f′(−1)=4.(−1)−3=−7
Phương trình tiếp tuyến: y=−7(x+1)+6 hay y=−7x−1.
Câu 3 (VD):
Phương pháp:
a) Muốn chứng minh d⊥(P) ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)
b) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và d′ với d′ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P).
Tính toán theo định lý Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn
c) Sử dụng qui tắc cộng trừ các véc tơ để biểu diễn được →IH theo →SA,→AB,→AD
Từ đó sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ bằng 0 nếu giá của chúng vuông góc với nhau để tính độ dài IH.
Cách giải:
a) Chứng minh rằng đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (SAD) và đường thẳng AN vuông góc với mặt phẳng (SCD).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD⊥AD
Vì SA⊥(ABCD) ⇒SA⊥CD
Ta có: {CD⊥ADCD⊥SAAD∩SA={A} ⇒CD⊥(SAD)
Vì {CD⊥(SAD)AN⊂(SAD) ⇒CD⊥AN
Ta có: {AN⊥SDAN⊥CDSD∩CD={D} ⇒AN⊥(SCD)
b) Gọi góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SCD) là φ. Tính sinφ.
Ta có AN⊥(SCD) tại N (cmt) nên CN là hình chiếu của CA lên mặt phẳng (SCD)
Suy ra góc giữa AC và (SCD) là góc giữa CA và CN. Hay φ=^ACN.
Ta tính ^ACN .
Vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥AC
Xét tam giác SAC vuông tại A, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
1AN2=1SA2+1AD2 ⇔1AN2=13a2+12a2 =56a2 ⇒AN=√305
Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có: AC=√AB2+BC2 =√a2+(a√2)2=a√3
Vì AN⊥(SCD) mà CN⊂(SCD) nên AN⊥CN
Xét tam giác vuông ANC có sin^ACN=ANAC =a√305a√3=√105
Suy ra sinφ=√105.
c) Tính độ dài đoạn thẳng IH theo a.
Vì ΔSAD,ΔSAB vuông tại A nên N,M lần lượt thuộc đoạn SB,SD.
Xét tam giác SAD vuông tại A có SA2=SN.SD ⇔SNSD=SA2SD2 =SA2SA2+AD2 =3a23a2+2a2=35
Suy ra →SN=35→SD
Xét tam giác SAB vuông tại A có SA2=SM.SB ⇔SMSB=SA2SB2 =3a23a2+a2=34
Suy ra →SM=34→SB
Ta có: →IH=→SH−→SI
=12→SC−12(→SM+→SN)
=12→SC−12(34→SB+35→SD)
=12→SC−38→SB−310→SD
=12(→SA+→AC)−38(→SA+→AB)−310(→SA+→AD)
=12(→SA+→AB+→AD)−38(→SA+→AB)−310(→SA+→AD)
=−740→SA+18→AB+15→AD
Vì SA,AB,AD đôi một vuông góc nên ta có:
IH2=(−740→SA+18→AB+15→AD)2
=(740)2→SA2+164→AB2+125→AD2 −2.740.18.→SA.→AB −2.740.15.→SA.→AD+2.15.18.→AD.→AB
=(740)2SA2+164AB2+125AD2
=(740)2.3a2+164a2+125.2a2
=316a2
Vậy IH=a√34.
Câu 4 (VDC):
Phương pháp:
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên (a,b)
Nếu ta có f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệm x0∈(a;b)
Cách giải:
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện 7a+b+3c=0. Chứng minh rằng phương trình ax2+bx+c=2020cosπx2 có ít nhất một nghiệm trên R.
Xét hàm số f(x)=ax2+bx+c−2020cosπx2 xác định và liên tục trên R.
Ta có: f(1)=a+b+c
f(−1)=a−b+c
f(3)=9a+3b+c
Suy ra 2f(1)+f(3)+3f(−1) =2a+2b+2c +9a+3b+c +3a−3b+3c
=14a+2b+6c =2.(7a+b+3c)=0
Hay 2f(1)+f(3)+3f(−1)=0
+) Nếu trong ba số f(1);f(−1);f(3) có 1 số bằng 0 thì hai số còn lại có tổng bằng 0 nên chúng trái dấu.
Suy ra phương trình f(x)=0 luôn có ít nhất 1 nghiệm
+) Nếu cả 3 số f(1);f(−1);f(3) đều khác 0, vì 2f(1)+f(3)+3f(−1)=0 nên trong ba số f(1);f(−1);f(3)chắc chắn có hai số trái dấu nhau.
Suy ra phương trình f(x)=0 luôn có ít nhất 1 nghiệm
Vậy với 7a+b+3c=0 thì phương trình ax2+bx+c=2020cosπx2 có ít nhất một nghiệm trên R.
HẾT
