Câu hỏi 1:
Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\). Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng \(A’B’C’D’\) là
- 0
- AC’
- BB’
- AB
Đáp án:
BB’
Phương pháp giải:
Xác định qua B và vuông góc với \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) nên \(BB' = d\left( {B,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)\)
Câu hỏi 2:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^3}\). Giá trị của \(f''\left( 1 \right)\) bằng
- 9
- 12
- 18
- 24
Đáp án:
18
Phương pháp giải:
Tính \(f'\left( x \right),f''\left( x \right) = \left[ {f'\left( x \right)} \right]'\). Thay x=1 vào .
Lời giải chi tiết:
Câu hỏi 3:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}\) bằng
- 0
- \( + \infty \)
- \( - 1\)
- 1
Đáp án:
1
Phương pháp giải:
Lý thuyết giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\)
Câu hỏi 4:
Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác SAC vuông cân tại A. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng
- \(90^\circ \)
- \(30^\circ \)
- \(60^\circ \)
- \(45^\circ \)
Đáp án:
\(45^\circ \)
Phương pháp giải:
Tìm hình chiếu của SC lên (ABC). Góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và hình chiếu.
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu của SC lên (ABC) là AC.
=> Góc giữa SC và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa SC và AC và bằng \(\widehat {SCA}\).
Tam giác SAC vuông cân tại A nên \(\widehat {SCA} = 45^\circ \).
Câu hỏi 5:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có \(f'\left( 2 \right) = 1,g'\left( 2 \right) = 4\). Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) tại điểm \(x = 2\) bằng
- 0
- -3
- 5
- 3
Đáp án:
3
Phương pháp giải:
\(\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]' = g'\left( x \right) - f'\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{'_{x = 2}} = g'\left( 2 \right) - f'\left( 2 \right) = 3\)
Câu hỏi 6:
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \left( {x > 0} \right)\) là
- \(\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt x }}\)
- \(\dfrac{1}{{\sqrt x }}\)
- \(\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
- \(\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }}\)
Đáp án:
\(\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
Phương pháp giải:
Công thức đạo hàm cơ bản.
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
Câu hỏi 7:
Đạo hàm của hàm số \(y = 2x - \sqrt x \) là
- \(2 - \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
- \(2 - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
- \(2 + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
- \(2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
Đáp án:
\(2 - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
Phương pháp giải:
\(y' = \left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\), \(\left( {kx} \right)' = k\) với k là hằng số.
Lời giải chi tiết:
\(y' = 2 - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
Câu hỏi 8:
Giá trị của \(\lim \dfrac{{3{n^2} + 2}}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}\) bằng
- \(\dfrac{3}{2}\)
- \( + \infty \)
- \(\dfrac{3}{4}\)
- \(\dfrac{4}{3}\)
Đáp án:
\(\dfrac{3}{4}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\).
Sử dụng kết quả \(\lim \dfrac{1}{n} = \lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim \dfrac{{3{n^2} + 2}}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}} = \lim \dfrac{{3 + \dfrac{2}{{{n^2}}}}}{{4 - \dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{3}{4}\)
Câu hỏi 9:
Hàm số nào dưới đây liên tục tại \(x = - 1\)?
- \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}\)
- \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
- \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 2x + 1}}\)
- \(f\left( x \right) = 3x + 3\)
Đáp án:
\(f\left( x \right) = 3x + 3\)
Phương pháp giải:
Hàm đa thức luôn liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = 3x + 3\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục tại x= -1.
Câu hỏi 10:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\). Khẳng định nào sau đây đúng?
- \(AA' = AC'\)
- \(BB' \bot \left( {ABC} \right)\)
- Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình thang cân.
- Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình tam giá.
Đáp án:
\(BB' \bot \left( {ABC} \right)\)
Phương pháp giải:
Hình lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc với đáy.
Lời giải chi tiết:
BB’ là cạnh bên của ABC.A’B’C’ nên \(BB' \bot \left( {ABC} \right)\)
Câu hỏi 11:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f'\left( 1 \right) = 2\). Đạo hàm của hàm số \(3f\left( x \right)\) tại điểm x=1 bằng
- 1
- -1
- 6
- 5
Đáp án:
6
Phương pháp giải:
\(\left[ {k.f\left( x \right)} \right]' = k.f'\left( x \right)\). Thay x=1
Lời giải chi tiết:
\(g\left( x \right) = 3f\left( x \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 3.f'\left( x \right)\). Thay x=1 vào ta được:
\(g'\left( 1 \right) = 3.f'\left( 1 \right) = 6\)
Câu hỏi 12:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} - 1} \right)\) bằng
- 1
- 2
- 3
- 0
Đáp án:
0
Phương pháp giải:
Thay x=1 vào biểu thức \({x^3} - 1\).
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} - 1} \right) = {1^3} - 1 = 0\)
Câu hỏi 13:
Cho f là hàm số liên tục tại \({x_0}\). Đạo hàm của f tại \({x_0}\) là:
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( {x + {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
- \(f\left( {{x_0}} \right)\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
- \(\dfrac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\)
Đáp án:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Phương pháp giải:
Định nghĩa đạo hàm.
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn này.
Câu hỏi 14:
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {x^2} + x\) là
- 2
- 2x
- 2x+1
- -2
Đáp án:
2
Phương pháp giải:
Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản.
Tính \(y',\)\(y'' = \left( {y'} \right)'\).
Lời giải chi tiết:
\(y' = 2x + 1 = > y'' = 2\)
Câu hỏi 15:
Giá trị của \(\lim {\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)^n}\) bằng:
- \( - \infty \)
- 1
- 0
- \( + \infty \)
Đáp án:
\( + \infty \)
Phương pháp giải:
\(q > 1 \Rightarrow \lim {q^n} = + \infty \)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\dfrac{\pi }{2} > 1 \Rightarrow \lim {\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)^n} = + \infty \)
Câu hỏi 16:
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim {u_n} = - 1,\lim {v_n} = + \infty \). Giá trị của \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) bằng
- 0
- -1
- \( + \infty \)
- 1
Đáp án:
0
Phương pháp giải:
\(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = + \infty \Rightarrow \lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\)
Câu hỏi 17:
Đạo hàm của hàm số \(y = \cot 2x\) là
- \(\dfrac{{ - 2}}{{{{\sin }^2}2x}}\)
- \(\dfrac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}2x}}\)
- \(\dfrac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)
- \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}2x}}\)
Đáp án:
\(\dfrac{{ - 2}}{{{{\sin }^2}2x}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức: \(\left( {\cot ax} \right)' = \dfrac{{ - a}}{{{{\sin }^2}ax}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\left( {\cot 2x} \right)' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\sin }^2}ax}}\)
Câu hỏi 18:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2x\) tại điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) có hệ số góc bằng
- 0
- 2
- 1
- 3
Đáp án:
1
Phương pháp giải:
\(y'\left( {{x_0}} \right)\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x = {x_0}\).
Tìm \(y'\). Thay x=1 vào y’.
Lời giải chi tiết:
\(y' = 3{x^2} - 2 \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 1\)
Câu hỏi 19:
Trong không gian, cho tam giác ABC. Vecto \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} \) bằng
- \(\overrightarrow {BA} \)
- \(\overrightarrow 0 \)
- \(\overrightarrow {AB} \)
- \(\overrightarrow {CA} \)
Đáp án:
\(\overrightarrow {AB} \)
Phương pháp giải:
Quy tắc tam giác.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \)
Câu hỏi 20:
Hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại C và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào dưới dây đúng?
- \(SB \bot \left( {ABC} \right)\)
- \(AB \bot \left( {SBC} \right)\)
- \(BC \bot \left( {SAC} \right)\)
- \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)
Đáp án:
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\)
Phương pháp giải:
Tìm mặt phẳng chứa 2 đường thẳng vuông góc với BC.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)
\(\Delta ABC\) vuông tại C nên \(BC \bot AC\).
=> \(BC \bot \left( {SAC} \right)\)
Câu hỏi 21:
Trong không gian cho hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) tạo với nhau một góc \(60^\circ \), \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 1\) và \(\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\). Tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) bằng
- 1
- 2
- \(\sqrt 3 \)
- 3
Đáp án:
1
Phương pháp giải:
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.2.\cos 60^\circ = 1\)
Câu hỏi 22:
Khẳng định nào sau đây là SAI?
- Góc giữa hai đường thẳng trong không gian luôn lớn hơn hoặc bằng \(0^\circ \) và nhỏ hơn hoặc bằng \(90^\circ \)
- Nếu hai đường thẳng a và b song song hoặc trùng với nhau thì góc giữa chúng bằng \(180^\circ \).
- Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^\circ \).
- Vecto \(\overrightarrow a \) khác vecto \(\overrightarrow 0 \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của \(\overrightarrow a \) song song hoặc trùng với đường thẳng d.
Đáp án:
Nếu hai đường thẳng a và b song song hoặc trùng với nhau thì góc giữa chúng bằng \(180^\circ \).
Phương pháp giải:
Lý thuyết góc giữa 2 đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian luôn lớn hơn hoặc bằng \(0^\circ \) và nhỏ hơn hoặc bằng \(90^\circ \)
Lời giải chi tiết:
Đáp án B sai vì: Góc giữa a và b không được quá \(90^\circ \)
Câu hỏi 23:
Đạo hàm của hàm số \(y = \cos 3x\) tại \(x = \dfrac{\pi }{2}\) là
- 3
- 0
- 1
- -3
Đáp án:
3
Phương pháp giải:
Đạo hàm của hàm lượng giác: \(\left( {\cos ax} \right)' = - a.\sin ax\).
Thay \(x = \dfrac{\pi }{2}\) vào đạo hàm.
Lời giải chi tiết:
\(\left( {\cos 3x} \right)' = - 3\sin 3x\)
\( \Rightarrow y'\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 3.\sin \left( {\dfrac{{3.\pi }}{2}} \right) = 3\)
Câu hỏi 24:
Đạo hàm của hàm số \(y= cosx\) là
A. \(\sin x\)
Phương pháp giải:
Công thức đạo hàm của cosx.
Lời giải chi tiết:
\(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)
Câu hỏi 25:
Đạo hàm của hàm số \(y = \cos x - \sin x\) là
- \( - \sin x - \cos x\)
- \(\cos x - \sin x\)
- \(\sin x\)
- \(\sin x - \cos x\)
Đáp án:
\( - \sin x - \cos x\)
Phương pháp giải:
\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]' = f'\left( x \right) - g'\left( x \right)\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x;\left( {\sin x} \right)' = \cos x\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y' = \left( {\cos x - \sin x} \right)'\\ = \left( {\cos x} \right)' - \left( {\sin x} \right)'\\ = - \sin x - \cos x\end{array}\)
Câu hỏi 26:
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^2} - 2\cos x\) là
- \(2x - 2\sin x\)
- \(x + 2\sin x\)
- \(2x + 2\cos x\)
- \(2x + 2\sin x\)
Đáp án:
\(2x + 2\sin x\)
Phương pháp giải:
\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]' = f'\left( x \right) - g'\left( x \right)\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x;\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(y' = 2x + 2\sin x\)
Câu hỏi 27:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có đường chéo \(AC = BD = 2a\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = OB\). Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) bằng
- 2a
- \(\sqrt 3 a\)
- a
- \(\sqrt 2 a\)
Đáp án:
a
Phương pháp giải:
Tính SO.
Lời giải chi tiết:
\(SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = OB\) nên \(SO = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\) và \(SO = OB = \dfrac{{BD}}{2} = a\)
Câu hỏi 28:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
- Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.
- Có ba mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Có hai mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Đáp án:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.
Phương pháp giải:
+ Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
+ Đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng phân biệt cắt nhau trong 1 mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Đáp án B đúng vì: 2 cạnh của một tam giác phân biệt và cắt nhau trong mặt phẳng chứa tam giác đó. Khi đó đường thẳng vuông góc với 2 cạnh này thì vuông góc với mặt phẳng chứa 2 cạnh và vuông với cạnh còn lại.
Câu hỏi 29:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right)\). Khi đó \(f'\left( x \right)\) bằng
- \(\dfrac{{ - 1}}{{2{x^2}}}\)
- \(\dfrac{1}{{{x^2}}}\)
- \(\dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}}\)
- \(\dfrac{1}{{2{x^2}}}\)
Đáp án:
\(\dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}}\)
Phương pháp giải:
Công thức đạo hàm cơ bản.
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
Câu hỏi 30:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}}\) bằng
- \( + \infty \)
- \( - \infty \)
- 3
- \( - 2\)
Đáp án:
\( + \infty \)
Phương pháp giải:
Tách \({x^2}\) và x ra khỏi tử và mẫu.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2}\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{x\left( {1 - \dfrac{2}{x}} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \)
Câu hỏi 31:
Đạo hàm của hàm số \(y = 2{x^3}\) tại điểm x=2 bằng
- 24
- 9
- 12
- 16
Đáp án:
24
Phương pháp giải:
\(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
\(y' = 6{x^2} \Rightarrow y'\left( 2 \right) = 24\)
Câu hỏi 32:
Đạo hàm của hàm số \(y=(2x+1)^2\) là
- \(y' = 2(2x + 1)\)
- \(y’= 4(2x+1)\)
- \(y' = 2x +1\)
- \(y'=4x\)
Đáp án:
\(y’= 4(2x+1)\)
Phương pháp giải:
\(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} \right]' = 2.\left( {2x + 1} \right).2\)\( = 4\left( {2x + 1} \right)\)
Câu hỏi 33:
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 3\) và công bội \(q = \dfrac{1}{2}\). Tổng của \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng:
- 1
- 6
- \(\dfrac{4}{3}\)
- \(\dfrac{3}{2}\)
Đáp án:
6
Phương pháp giải:
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết:
\(S = \dfrac{3}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 6\)
Câu hỏi 34:
Đạo hàm của hàm số \(y=(x+1)x\) là
- \(2{x^2} + 1\)
- \(2x + 1\)
- \(2{x^2} + x\)
- \(4x + 1\)
Đáp án:
\(2x + 1\)
Phương pháp giải:
\(\left( {u.v} \right)' = u'.v - v'.u\)
Lời giải chi tiết:
\(y' = x + x + 1 = 2x + 1\)
Câu hỏi 35:
Cho hình chóp S.ABCD có SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
- (SAD)
- (SAC)
- (SAB)
- (SCD)
Đáp án:
(SAB)
Phương pháp giải:
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vuông góc với (Q) thì (P) vuông góc với (Q).
Lời giải chi tiết:
\(SB \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\)
Câu hỏi 36:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 2\sqrt x \)
Phương pháp giải:
\(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\), \(\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {{x^4} - 2\sqrt x } \right)' = 4{x^3} - 2.\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)\( = 4{x^3} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}\)
Câu hỏi 37:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với đáy, H là hình chiếu của A lên SO. Chứng minh đường thẳng AH vuông góc với (SBD).
Phương pháp giải:
+ Chứng minh \(BD \bot AH\).
+ Đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng phân biệt cắt nhau trong 1 mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\\BD \bot AC\end{array} \right\}\\ \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BD \bot AH \subset \left( {SAC} \right)\\AH \bot SO\end{array} \right\}\\ \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\end{array}\)
Câu hỏi 38:
Câu 1:
Cho a và b là các số thực khác 0. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + bx + 2} - 2ax} \right) = 4\). Tìm a+b.
Phương pháp giải:
Nhân liên hợp.
Chia cả tử và mẫu cho x.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + bx + 2} - 2ax} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4{x^2} + bx + 2 - 4{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2} + 2ax}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4{x^2} + bx + 2 - 4{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2} + 2ax}}\end{array}\)
Để giới hạn trên bằng 4 thì bậc của tử và mẫu phải bằng nhau. Tức là không còn \({x^2}\). Do đó \({a^2} = 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + bx + 2} - 2ax} \right) = 4\) nên a > 0 (vì nếu a< 0 thì giới hạn trên bằng vô cùng). Do đó a=1.
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4{x^2} + bx + 2 - 4{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2} + 2ax}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{bx + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2} + 2ax}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {b + \dfrac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{b}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} + 2a} \right)}}\\ = \dfrac{b}{{2 + 2a}} = 4\\ \Leftrightarrow b = 8 + 8a = 16 \Rightarrow a + b = 17\end{array}\)
Câu 2:
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 2\) có đồ thị là (C). Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Phương pháp giải:
Gọi điểm trên hoành độ là \(A\left( {a;0} \right)\).
Tính y’.
Lời giải chi tiết:
Gọi điểm trên hoành độ là \(A\left( {a;0} \right)\).
\(y' = - 3{x^2} + 3\).
Gọi \({x_0}\) là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến.
\( \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {3 - 3{x_0}} \right)\).
Khi đó tiếp tuyến tại \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:
\(y = \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {3 - 3{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) - {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\left( {{x_0} - 2} \right)\)
Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {a;0} \right)\) nên phương trình:
\(0 = \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {3 - 3{x_0}} \right).\left( {a - {x_0}} \right) - {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\left( {{x_0} - 2} \right)\) luôn có 3 nghiệm phân biệt.
\( \Rightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0 = f\left( {{x_0}} \right)\)
