Bài 1 trang 57 SGK Đại số và Giải tích 11

166 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:

LG a

${\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b} \right)^5}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ...\\ ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n} \end{array}$

Trong trường hợp số mũ $n$ khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Lời giải chi tiết:

Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

${(a + 2b)^5} = {a^5} + 5{a^4}.2b + 10{a^3}.{(2b)^2} + 10{a^2}{(2b)^3}$

$+ 5a.{(2b)^4} + {(2b)^5}$ $={a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}$

$\begin{array}{l} C2:{\left( {a + 2b} \right)^5} \\ = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}{\left( {2b} \right)^1} + C_5^2{a^3}{\left( {2b} \right)^2}\\ + C_5^3{a^2}{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4{a^1}{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5{\left( {2b} \right)^5}\\ = {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5} \end{array}$

LG b

${\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)^6}$

Lời giải chi tiết:

Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

${\left( {a - \sqrt 2 } \right)^6} = {a^6} + 6{a^5}\left( { - \sqrt 2 } \right) + 15{a^4}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}$

$+ 20{a^3}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + 15{a^{^2}}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} + 6a{\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}$

$+ {\left( { - \sqrt 2 } \right)^6}$ $={a^6} - 6\sqrt 2 {a^5} + 30{a^4}- 40\sqrt 2 {a^3}$

$+ 60{a^2} - 24\sqrt 2 a + 8$

$\begin{array}{l} C2:\,\,{\left( {a - \sqrt 2 } \right)^6} \\ = C_6^0{a^6} + C_6^1{a^5}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^1} + C_6^2{a^4}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}\\ \;\;\;\;+ C_6^3{a^3}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3}+ C_6^4{a^2}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} \\\;\;\;\;+ C_6^5{a^1}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^5} + C_6^6{\left( { - \sqrt 2 } \right)^6}\\ = {a^6} - 6\sqrt 2 {a^5} + 30{a^4} - 40\sqrt 2 {a^3} + 60{a^2}\\\;\;\;\; - 24\sqrt 2 a + 8 \end{array}$

LG c

$\displaystyle {\left( {x - {1 \over x}} \right)^{13}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l} {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)^{13}}\\ = C_{13}^0{x^{13}} + C_{13}^1{x^{12}}.\left( { - \dfrac{1}{x}} \right) + C_{13}^2{x^{11}}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^2}\\ + C_{13}^3{x^{10}}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^3} + C_{13}^4{x^9}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^4}\\ + C_{13}^5{x^8}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^5} + C_{13}^6{x^7}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^6}\\ + C_{13}^7{x^6}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^7} + C_{13}^8{x^5}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^8}\\ + C_{13}^9{x^4}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^9} + C_{13}^{10}{x^3}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^{10}}\\ + C_{13}^{11}{x^2}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^{11}} + C_{13}^{12}x.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^{12}} + C_{13}^{13}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^{13}}\\ = C_{13}^0{x^{13}} + C_{13}^1{x^{12}}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}}}{x} + C_{13}^2{x^{11}}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\\ + C_{13}^3{x^{10}}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{{{x^3}}} + C_{13}^4{x^9}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{{{x^4}}}\\ + C_{13}^5{x^8}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}}}{{{x^5}}} + C_{13}^6{x^7}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^6}}}{{{x^6}}}\\ + C_{13}^7{x^6}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^7}}}{{{x^7}}} + C_{13}^8{x^5}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^8}}}{{{x^8}}}\\ + C_{13}^9{x^4}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^9}}}{{{x^9}}} + C_{13}^{10}{x^3}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{10}}}}{{{x^{10}}}}\\ + C_{13}^{11}{x^2}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{11}}}}{{{x^{11}}}} + C_{13}^{12}x.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{12}}}}{{{x^{12}}}} + C_{13}^{13}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{13}}}}{{{x^{13}}}}\\ = C_{13}^0{x^{13}} - C_{13}^1{x^{11}} + C_{13}^2{x^9} - C_{13}^3{x^7} + C_{13}^4{x^5}\\ - C_{13}^5{x^3} + C_{13}^6x - C_{13}^7.\dfrac{1}{x} + C_{13}^8.\dfrac{1}{{{x^3}}} - C_{13}^9.\dfrac{1}{{{x^5}}}\\ + C_{13}^{10}.\dfrac{1}{{{x^7}}} - C_{13}^{11}.\dfrac{1}{{{x^9}}} + C_{13}^{12}.\dfrac{1}{{{x^{11}}}} - C_{13}^{13}.\dfrac{1}{{{x^{13}}}} \end{array}$

SGK Toán lớp 11