Video hướng dẫn giải
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?
LG a
un=2n2−1un=2n2−1
Phương pháp giải:
Dãy số (un)(un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un≤M∀n∈N∗un≤M∀n∈N∗.
Dãy số (un)(un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un≥m∀n∈N∗un≥m∀n∈N∗.
Dãy số (un)(un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m≤un≤M∀n∈N∗m≤un≤M∀n∈N∗.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
n≥1⇒n2≥1⇒2n2≥2n≥1⇒n2≥1⇒2n2≥2
⇒2n2−1≥1⇒un≥1,∀n∈N∗⇒2n2−1≥1⇒un≥1,∀n∈N∗
Do đó (un)(un) bị chặn dưới bởi 1.
Ngoài ra, (un)(un) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để 2n2−1<M2n2−1<M với mọi n∈N∗n∈N∗.
LG b
un=1n(n+2)un=1n(n+2)
Lời giải chi tiết:
{n≥1⇒n2≥12n≥2⇒n(n+2)=n2+2n≥1+2=3⇒1n(n+2)≤13⇒un≤13∀n∈N∗.
Suy ra 0<un ≤13 với mọi n∈N∗.
LG c
un=12n2−1
Lời giải chi tiết:
n2≥1⇔2n2≥2⇔2n2−1≥1>0⇒0<12n2−1≤1∀n∈N∗
LG d
un=sinn+cosn
Lời giải chi tiết:
sinn+cosn=√2(1√2sinn+1√2cosn)=√2(sinncosπ4+cosnsinπ4)=√2sin(n+π4)Vì −1≤sin(n+π4)≤1⇒−√2≤√2sin(n+π4)≤√2⇒−√2≤sinn+cosn≤√2∀n∈N∗
