1. Hoán vị
Cho n phần tử khác nhau (n≥1). Mỗi cách sắp thứ tự của n phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Định lí
Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (n≥1) được kí hiệu là Pn và bằng:
Pn=n(n−1)(n−2)...2.1=n!
Ví dụ:
Tính số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc.
Hướng dẫn:
Mỗi cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử.
Vậy số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là P6=6!=720.
2. Chỉnh hợp
Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Chú ý
Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Định lí
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Akn và bằng
A_n^k = n(n – 1)…(n – k + 1) =\frac{n!}{(n - k)!} (1 ≤ k ≤ n)
Với quy ước 0! = 1.
Ví dụ:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7?
Hướng dẫn:
Mỗi số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 4 chữ số từ tập A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\} và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.
Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.
Vậy số các số cần tìm là A_7^4 = 840 số.
3. Tổ hợp
Định nghĩa
Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp n phần tử đã cho (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).
Định lí
Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là C_n^k và bằng
C_n^k = \frac{n!}{k! (n - k)!} = \frac{A^k_{n}}{k!}, (0 ≤ k ≤ n)
Ví dụ:
Một bàn học sinh có 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật?
Hướng dẫn:
Mỗi cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử.
Vậy số cách chọn là: C_5^2 = 10 (cách)
Định lí
Với mọi n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n, ta có:
a) C_n^k = C_n^{n-k}
b) C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}.
4. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Phương pháp chung:
- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.
- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.
Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Phương pháp chung:
- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.
- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.
