Đề bài
A. TRẮC NGHIỆM (4 điểm)
Câu 1. Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u1=2 và công bội q=−3. Giá trị của u3 bằng:
A. 27 B. −27 C. −9 D. 18
Câu 2. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u1=−5 và công sai d=3. Tổng của 50 số hạng đầu tiên là:
A. 2345 B. 6850 C. 3425 D. 3500
Câu 3. Cho cấp số nhân (vn) thỏa mãn {v2=2v5=16. Khi đó ta có:
A. v1=−2 B. v4=12 C. v6=64 D. v7=64
Câu 4. Cho dãy số (un) với {u1=12un=12−un−1,∀n>1. Giá trị của u4 bằng:
A. 34 B. 45 C. 56 D. 54
Câu 5. Cho dãy số (un) thỏa mãn un=2n+1n+1,∀n≥1. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. (un) là dãy số bị chặn dưới
B. u5=116
C. (un) là dãy giảm
D. (un) là dãy tăng và bị chặn
Câu 6. Với số thực a cho trước, giá trị của lim là:
A. a B. 2a C. \dfrac{a}{2} D. 1
Câu 7. Giá trị của \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 2n - 2} - n} \right) là:
A. - 1 B. - \dfrac{2}{3} C. - \infty D. + \infty
Câu 8. Giá trị của \lim \dfrac{{{4^n} + {6^n}}}{{{6^{n - 1}} - {5^n}}} là:
A. 0 B. + \infty C. 6 D. \dfrac{1}{6}
Câu 9. Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm AB,\,\,N là trung điểm AC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ba vectơ \overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AD} đồng phẳng
B. Ba vectơ \overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CB} ,\,\,\overrightarrow {BD} đồng phẳng
C. Ba vectơ \overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {MN} đồng phẳng
D. Ba vectơ \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {MN} đồng phẳng
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Biết rằng SA = SB = SC = SD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. AB//\left( {SCD} \right) B. AC \bot \left( {SBD} \right)
C. SO \bot \left( {ABCD} \right) D. AD \bot \left( {SAB} \right)
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng \left( {ABC} \right), SA = a. Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \left( {ABC} \right) có số đo là:
A. {30^0} B. {45^0}
C. {135^0} D. {60^0}
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,\,\,AC = 2a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng \left( {ABC} \right), SA = a. Khi đó, cosin của góc tạo bởi SC và mặt phẳng \left( {SAB} \right) có giá trị là:
A. \dfrac{{\sqrt {15} }}{5} B. \sqrt {\dfrac{2}{5}}
C. \sqrt {\dfrac{2}{3}} D. \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}
B – TỰ LUẬN (6 điểm)
Bài 1 (3 điểm):
a) Cho cấp số cộng \left( {{u_n}} \right) với công sai d. Biết rằng \left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 2d - 2\\u_2^2 + u_4^2 = 20\end{array} \right.. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
b) Tính giới hạn \lim \left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} \right).
Bài 2 (3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = a và AD = 2a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng \left( {ABCD} \right), SA = a. Kẻ AH \bot SB và AK \bot SC \left( {H \in SB,\,\,K \in SC} \right).
a) Chứng minh AH \bot \left( {SBC} \right).
b) Chứng minh SC \bot HK và DC \bot \left( {SAC} \right).
c) Tính góc giữa hai đường thẳng HK và CD.
Lời giải chi tiết
| 1. D | 2. C | 3. D | 4. B | 5. C | 6. C |
| 7. A | 8. C | 9. C | 10. C | 11. B | 12. A |
Câu 1 (NB) – Cấp số nhân
Phương pháp:
Sử dụng công thức SHTQ của cấp số nhân có số hạng đầu {u_1}, công bội q là {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}.
Cách giải:
Ta có: {u_3} = {u_1}.{q^2} = 2.{\left( { - 3} \right)^2} = 18.
Chọn D.
Câu 2 (NB) – Cấp số cộng
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSC có số hạng đầu {u_1}, công sai d là {S_n} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}.
Cách giải:
Ta có: {S_{50}} = \dfrac{{\left[ {2.\left( { - 5} \right) + \left( {50 - 1} \right).3} \right].50}}{2} = 3425.
Chọn C.
Câu 3 (TH) – Cấp số nhân
Phương pháp:
Sử dụng công thức SHTQ của cấp số nhân có số hạng đầu {u_1}, công bội q là {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}.
Cách giải:
Gọi số hạng đầu là {v_1} và công bội là q, ta có: \left\{ \begin{array}{l}{v_2} = 2\\{v_5} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_1}q = 2\\{v_1}{q^4} = 16\end{array} \right..
Chia vế theo vế 2 phương trình trên ta có {q^3} = 8 \Leftrightarrow q = 2.
\Rightarrow 2{v_1} = 2 \Leftrightarrow {v_1} = 1.
Khi đó ta có \left\{ \begin{array}{l}{v_4} = {v_1}{q^3} = {1.2^3} = 8\\{v_6} = {v_1}{q^5} = {1.2^5} = 32\\{v_7} = {v_1}{q^6} = {1.2^6} = 64\end{array} \right..
Vậy đáp án đúng là D.
Chọn D.
Câu 4 (NB) – Dãy số
Phương pháp:
Tính lần lượt {u_2},\,\,{u_3},\,\,{u_4} nhờ công thức truy hồi của dãy số.
Cách giải:
Ta có:
\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{1}{{2 - {u_1}}} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{2}{3}\\{u_3} = \dfrac{1}{{2 - {u_2}}} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{2}{3}}} = \dfrac{3}{4}\\{u_4} = \dfrac{1}{{2 - {u_3}}} = \dfrac{2}{{2 - \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{4}{5}\end{array}
Chọn B.
Câu 5 (TH) – Dãy số
Phương pháp:
Xét hiệu H = {u_{n + 1}} - {u_n}.
+ Nếu H > 0\,\,\forall n \ge 1 thì dãy \left( {{u_n}} \right) là dãy số tăng.
+ Nếu H < 0\,\,\forall n \ge 1 thì dãy \left( {{u_n}} \right) là dãy số giảm.
Cách giải:
Xét hiệu
\begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} - {u_n},\,\,\forall n \ge 1\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1 + 1}} - \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2n + 3}}{{n + 2}} - \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{n^2} + 5n + 3 - 2{n^2} - 5n - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\,\,\forall n \ge 1\end{array}
Do đó dãy số \left( {{u_n}} \right) là dãy số tăng.
Vậy đáp án sai là C.
Chọn C.
Câu 6 (NB) – Giới hạn của dãy số
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho n.
Cách giải:
Ta có: \lim \dfrac{{a.n + 2}}{{2n + 1}} = \lim \dfrac{{a + \dfrac{2}{n}}}{{2 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{a}{2}.
Chọn C.
Câu 7 (TH) – Giới hạn của dãy số
Phương pháp:
- Nhân liên hợp.
- Chia cả tử và mẫu cho n.
Cách giải:
Ta có:
\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 2n - 2} - n} \right)\\ = \lim \dfrac{{{n^2} - 2n - 2 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - 2n - 2} + n}}\\ = \lim \dfrac{{ - 2n - 2}}{{\sqrt {{n^2} - 2n - 2} + n}}\\ = \lim \dfrac{{ - 2 - \dfrac{2}{n}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{2}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} + 1}} = - 1\end{array}.
Chọn A.
Câu 8 (TH) – Giới hạn của dãy số
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho {6^n}.
Cách giải:
Ta có: \lim \dfrac{{{4^n} + {6^n}}}{{{6^{n - 1}} - {5^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} + 1}}{{\dfrac{1}{6} - {{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)}^n}}} = 6.
Chọn C.
Câu 9 (TH) – Vectơ trong không gian
Phương pháp:
- Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác.
- Sử dụng định lí: Trong không gian cho hai vectơ \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b không cùng phương và vectơ \overrightarrow c . Khi đó ba vectơ \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số m,\,\,n sao cho \overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b . Cặp số m,\,\,n là duy nhất.
Cách giải:
Ta có: MN là đường trung bình của \Delta ABC nên \overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {CD} } \right).
Do đó ba vectơ \overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {MN} đồng phẳng.
Chọn C.
Câu 10 (NB) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
Sử dụng định lí \left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right).
Cách giải:
Vì SA = SC \Rightarrow \Delta SAC cân tại S \Rightarrow SO \bot AC.
Vì SB = SD \Rightarrow \Delta SBD cân tại S \Rightarrow SO \bot BD.
\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).
Chọn C.
Câu 11 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Sử dụng tỉ số lượng giác để tính góc.
Cách giải:
Ta có: SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB là hình chiếu của SB lên \left( {ABC} \right).
\Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA.
Xét tam giác vuông SAB ta có: SA = AB = a \Rightarrow \Delta SAB vuông cân tại A.
Vậy \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle SBA = {45^0}.
Chọn B.
Câu 12 (VD) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Sử dụng định lí Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Cách giải:
Ta có: \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).
\Rightarrow SB là hình chiếu vuông góc của SC lên \left( {SAB} \right).
\Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SB} \right) = \angle BSC.
Vì BC \bot \left( {SAB} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC vuông tại B
Tam giác ABC vuông cân tại B \Rightarrow AB = BC = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 .
Xét tam giác vuông SAB có: SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 .
\Rightarrow SC = \sqrt {S{B^2} + C{B^2}} = a\sqrt 5
Xét tam giác vuông SBC có: \cos \angle BSC = \dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 5 }} = \sqrt {\dfrac{3}{5}} = \dfrac {\sqrt{15}}{5}.
Chọn A.
B – TỰ LUẬN (6 điểm)
Bài 1 (VD) – Cấp số cộng – Giới hạn của dãy số
Phương pháp:
a) Sử dụng công thức số hạng tổng quát {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d và tính chất cấp số cộng {u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ 2 ẩn {u_4},\,\,d. Giải hệ tìm {u_4},\,\,d. Sau đó tìm {u_1} = {u_4} - 3d.
b) Nhân liên hợp, sử dụng hằng đẳng thức {a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right). Sau đó chia cả tử và mẫu cho n với số mũ cao nhất.
Cách giải:
a) Theo bài ra ta có:
\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 2d - 2\\u_2^2 + u_4^2 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_4} = 2d - 2\\u_2^2 + u_4^2 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\{\left( {{u_4} - 2d} \right)^2} + u_4^2 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\{\left( {d - 1 - 2d} \right)^2} + {\left( {d - 1} \right)^2} = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\{d^2} + 2d + 1 + {d^2} - 2d + 1 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\2{d^2} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\d = \pm 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 2\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 4\\d = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {u_4} - 3d = - 7\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {u_4} - 3d = 5\\d = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}
Vậy {u_1} = - 7;\,\,d = 3 hoặc {u_1} = 5;\,\,d = - 3.
b) Ta có:
\begin{array}{l}\,\,\,\,\lim \left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} \right)\\ = \lim \dfrac{{8{n^3} - 8{n^3} - 5{n^2}}}{{4{n^2} + 2n\sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} \right)}^2}}}\\ = \lim \dfrac{{ - 5{n^2}}}{{4{n^2} + 2n\sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} \right)}^2}}}\\ = \lim \dfrac{{ - 5}}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 + \dfrac{5}{n}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{8 + \dfrac{5}{n}}}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 5}}{{4 + 2.2 + {2^2}}} = \dfrac{{ - 5}}{{12}}\end{array}
Bài 2 (VDC) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
a) Sử dụng định lí: \left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right).
b) Sử dụng định lí: \left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot a để chứng minh SC \bot HK.
Gọi E là trung điểm của AD, chứng minh DC \bot AC, từ đó chứng minh DC \bot \left( {SAC} \right).
c) Trong \left( {SCD} \right) kẻ KI//CD\,\,\left( {I \in SD} \right), khi đó ta có \angle \left( {HK;CD} \right) = \angle \left( {HK;KI} \right).
Tính \angle HKI = \angle AKH + \angle AKI. Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và tính chất 2 đường thẳng vuông góc để tính góc.
Cách giải:
a) Ta có: \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH
\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\\AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right).
b) Vì AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AH \bot SC.
Ta có: \left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\,\,\left( {cmt} \right)\\AK \bot SC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK.
Gọi E là trung điểm của AD, khi đó ABCE là hình vuông cạnh a.
\Rightarrow CE = a = \dfrac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta ACD vuông tại C \Rightarrow AC \bot CD.
Ta có: \left\{ \begin{array}{l}DC \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\\DC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SAC} \right).
c) Trong \left( {SCD} \right) kẻ KI//CD\,\,\left( {I \in SD} \right), khi đó ta có \angle \left( {HK;CD} \right) = \angle \left( {HK;KI} \right).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB ta có:
\begin{array}{l}AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }}\\ = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC ta có:
\begin{array}{l}AK = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}\\ = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\end{array}.
Vì AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AH \bot HK \Rightarrow \Delta AHK vuông tại H
\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \angle AKH = \dfrac{{AH}}{{AK}}\\ = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow \angle AKH = {60^0}\end{array}
Ta có:
\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}KI//CD\\CD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow KI \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow KI \bot AK\end{array}
\Rightarrow \angle AKI = {90^0}.
\begin{array}{l} \Rightarrow \angle HKI = \angle AKH + \angle AKI\\ = {60^0} + {90^0} = {150^0} > {90^0}\end{array}.
Vậy
\begin{array}{l}\angle \left( {HK;CD} \right) = \angle \left( {HK;KI} \right)\\ = {180^0} - \angle HKI = {180^0} - {150^0} = {30^0}\end{array}.
