Đề bài
Khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh aa là bằng:
(A) 3a23a2 (B) a√22a√22
(C) a√32a√32 (D) a√2a√2
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ABAB và CDCD. Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó.
(Đoạn nối hai trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ diện đều là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đó)
Lời giải chi tiết
Gọi II là trung điểm cạnh ABAB; JJ là trung điểm của cạnh CDCD.
Ta có: ΔACD=ΔBCD(c.c.c)⇒AJ=BJΔACD=ΔBCD(c.c.c)⇒AJ=BJ (hai đường trung tuyến tương ứng).
⇒ΔJAB cân tại J ⇒JI⊥AB.
Chứng minh tương tự ΔICD cân tại I ⇒IJ⊥CD.
⇒IJ là đoạn vuông góc của cạnh AB và CD.
⇒d(AB;CD)=IJ
Tứ diện cạnh a nên:
BJ=a√32,BI=a2⇒IJ2=BJ2−BI2⇒IJ2=2a24⇒IJ2=a√22
Vậy d(AB;CD)=a√22.
