Đề bài
Khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh \(a\) là bằng:
(A) \({{3a} \over 2}\) (B) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)
(C) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) (D) \(a\sqrt2\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\). Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó.
(Đoạn nối hai trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ diện đều là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đó)
Lời giải chi tiết
Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(AB\); \(J\) là trung điểm của cạnh \(CD\).
Ta có: \(\Delta ACD = \Delta BCD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AJ = BJ\) (hai đường trung tuyến tương ứng).
\( \Rightarrow \Delta JAB\) cân tại J \( \Rightarrow JI \bot AB\).
Chứng minh tương tự \(\Delta ICD\) cân tại I \(\Rightarrow IJ \bot CD\).
\(\Rightarrow IJ\) là đoạn vuông góc của cạnh \(AB\) và \(CD\).
\( \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = IJ\)
Tứ diện cạnh a nên:
\(\eqalign{
& BJ = {{a\sqrt 3 } \over 2},BI = {a \over 2} \cr
& \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = B{J^2} - B{I^2} \cr
& \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = {{2{a^2}} \over 4} \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
Vậy \(d\left( {AB;CD} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
