Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A1 là trung điểm của cạnh SA và A2 là trung điểm của đoạn AA1. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A1,A2. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB,SC,SD lần lượt tại B1,C1,D1. Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB,SC,SD lần lượt tại B2,C2,D2. Chứng minh:
a) B1,C1,D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,SC,SD.
b) B1B2=B2B, C1C2=C2C, D1D2=D2D.
c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng lý thuyết:
Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại và hai giao tuyến song song.
Và định lí đường trung bình của tam giác.
b) Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang.
c) Dựa vào định nghĩa hình chóp cụt (SGK Hình học 11 trang 70).
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
{(α)//(ABCD)(SAB)∩(ABCD)=AB(SAB)∩(α)=A1B1 ⇒A1B1//AB
Mặt khác A1 là trung điểm của SA nên A1B1 là đường trung bình của tam giác SAB
⇒B1 là trung điểm của SB.
Chứng minh tương tự với các điểm còn lại.
b) Ta có:
{(β)//(ABCD)(SAB)∩(ABCD)=AB(SAB)∩(β)=A2B2 ⇒A2B2//AB
Mà A1B1//AB⇒A2B2//A1B1
A2 là trung điểm của AA1 nên A2B2 là đường trung bình của hình thang ABB1A1
⇒B2 là trung điểm của B1B
Do đó B1B2=B2B.
Chứng minh tương tự ta được: C1C2=C2C, D1D2=D2D.
c) Có hai hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD: ABCD.A1B1C1D1; ABCD.A2B2C2D2.
