Phần 1
Cấp số cộng – Cấp số nhân
1. Cấp số cộng
Dạng 1. Xác định CSC và các yếu tố của CSC.
Bài 1. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_{17}} - {u_{20}} = 9\) và \(u_{17}^2 + u_{20}^2 = 153\).
a) Tìm số hạng đầu tiên \({u_1}\) và công sai d.
b) Tìm \({u_{2021}}\) và \({S_{2021}}\).
Bài 2. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 1,d = 2,{S_n} = 483\). Tìm n.
Dạng 2. Bài tập về ba số lập thành một cấp số cộng
Bài 1. Tìm x để ba số \(10 - 3x,2{x^2} + 3,7 - 4x\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Bài 2. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng
\({a^2} + 2bc = {c^2} + 2ab\).
Dạng 3. Bài tập tổng hợp
Bài 1. Tính các tổng sau: \(S = {100^2} - {99^2} + {98^2} - {97^2} + ... + {2^2} - 1\).
Bài 2. Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dương lập thành một cấp số cộng có công sai bằng 2. Tìm ba cạnh đó.
Bài 3. Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là 6 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?
2. Cấp số nhân
Dạng 1. Xác định CSN và các yếu tố của CSN.
Bài 1. Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.\)
Bài 2. Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \dfrac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\)
a. Viết năm số hạng đầu của cấp số.
b. Tính tổng số của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
c. Số \(\dfrac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?
Dạng 2. Bài tập về ba số lập thành một cấp số nhân
Bài 1. Tìm x để ba số x–2, x–4, x+2 lập thành một cấp số nhân.
Bài 2. Xác định m để phương trình: \({x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\)(1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Dạng 3. Bài tập tổng hợp
Bài 1. Tính các tổng sau:
a) \(S = 2 + 6 + 18 + ... + 13122\)
b) \(S = 1 + 2.2 + {3.2^2} + ... + {100.2^{99}}\)
Bài 2. Tính tổng \(S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {11...1}_{n{\rm{\, chữ\, số}}}\).
Phần 2
Giới hạn
1. Giới hạn dãy số
Dạng 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Bài 1. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}n\)không có giới hạn.
Bài 2. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim \dfrac{{2n + 1}}{{n - 2}}\)
b) \(\lim \dfrac{{\cos n + \sin n}}{{{n^2} + 1}}\)
c) \(\lim \dfrac{{{{\sin }^2}n}}{{n + 2}}\)
Dạng 2. Tìm giới hạn dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \dfrac{{3n + 4}}{{ - 2n + 5}}\)
b) \(\lim \dfrac{{ - 6{n^2} - 2n + 7}}{{ - 2n\left( {n + 3} \right)}}\)
c) \(\lim \dfrac{{{n^{18}} + 4n - 3}}{{{n^{15}} + 4{n^2} + 3{n^{18}}}}\)
d) \(\lim \dfrac{{5{n^4} + 3n\left( {n - 6} \right)}}{{ - {n^4} + 3n - 11}}\)
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \left( {{n^2} + 5n - 2021} \right)\)
b) \(\lim \left( {15 - n - {n^3}} \right)\)
c) \(\lim \left( {{{10}^n} - {3^{2n}}} \right)\)
d) \(\lim \dfrac{{2{n^5} + 4n - 11}}{{{n^2} - 3{n^4} + 1}}\)
e) \(\lim \dfrac{{{2^n} + {3^n}}}{{ - {5^n}}}\)
f) \(\lim \left[ {{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{7}{5}} \right)}^n}} \right]\).
g) \(\lim \left( {\sqrt {9{n^2} + 3n + 2} - 3n} \right)\)
h) \(\lim \dfrac{{1 + 3 + 5 + ... + \left( {2n + 1} \right)}}{{3{n^2} + 5}}\)
i) \(\lim \left( {2n + 1} \right)\sqrt {\dfrac{9}{{{n^2} + 1}}} \)
2. Giới hạn hàm số
Dạng 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Bài 1. Chứng minh các hàm số sau không có giới hạn:
a) \(f\left( x \right) = \sin \dfrac{1}{x}\) khi \(x \to 0\)
b) \(f\left( x \right) = \cos x\) khi \(x \to + \infty \).
Bài 2. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + x - 3}}{{x - 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3{x^2}}}{{2{x^2} - 1}}\)
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số tại một điểm
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 2x + 3\cos x + x}}{{2x + {{\cos }^2}3x}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 3} - 2x}}{{\sqrt[3]{{x + 6}} + 2x - 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {2{x^2} - x + 1} - \sqrt[3]{{2x + 3}}}}{{3{x^2} - 2}}\)
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 15}}{{x - 2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \dfrac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}}\)
Dạng 3. Tìm giới hạn của hàm số tại vô cùng
Bài 1.Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{x + 1}}{{x + 5}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{3x + 8}}{{5x - 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - 3x - 2}}{{4x + 1}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3{x^2} + 5x + 1}}{{2{x^2} + x + 1}}\)
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - \sqrt {3{x^2} + 2} }}{{5x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2x - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\)
Dạng 4. Dạng vô định
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\left( {1 + 2x} \right)}^2}{{\left( {1 + 3x} \right)}^3} - 1}}{x}\)
2) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}\)
3) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{5x + 3\sqrt {1 - x} }}{{1 - x}}\)
4) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right)\)
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {5 - x} - 2}}{{{x^2} - 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\left( {\sqrt {4{x^2} + 1} - 2x} \right)\)
Dạng 5. Dạng vô định của các hàm lượng giác.
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - cox2x}}{{{x^2}}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \dfrac{\pi }{2}} \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\tan x\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3x}}{{\sin 5x}}\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \dfrac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}}\)
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\sin }^4}2x}}{{{{\sin }^4}3x}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\cos 3x - \cos 4x}}{{\cos 5x - \cos 6x}}\)
3. Hàm số liên tục
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 3}}{{x - 1}}{\rm{ }},x \ne 1\\2{\rm{ }}{\rm{,}}x = 1\end{array} \right.\) tại điểm x=1.
Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2.
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 2} - 2}}{\rm{ \,\, khi \,}}x > 2\\2x - 20{\rm{ \,\, khi \,}}x \le 2\end{array} \right.\)
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó:
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x + 2}}{\rm{ \,\, khi \,}}x \ne - 2\\3{\rm{ \,\, khi \,}}x = - 2\end{array} \right.\)
Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó:
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 3}}{\rm{\,\, khi \,}}x > 3\\2x + 1{\rm{\,\, khi \, }}x \le {\rm{3}}\end{array} \right.\)
Dạng 3. Xác định tham số để hàm số liên tục trên khoảng, đoạn.
Bài 1. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}{\rm{\,\, khi \,}}x \ne 1\\2m + 1{\rm{\,\, khi \,}}x = 1\end{array} \right.\)
Xác định m để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Bài 2.Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{{2{x^2} + 3x + 1}}{\rm{\,\, khi \, }}x \ne - \dfrac{1}{2}\\m + 1{\rm{ \,\, khi \,}}x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Xác định m để hàm số liên tục tại \(x = - \dfrac{1}{2}\).
Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm
Bài 1. Chứng minh phương trình \(4{x^4} + 2{x^2} - x - 3 = 0\) có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Bài 2. Chứng minh rằng phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){x^5} - 3x - 1 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m.
Phần 3
Đạo hàm
Dạng 1. Tính đạo hàm
Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \dfrac{1}{2}{x^5} + \dfrac{2}{3}{x^4} - {x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 4x - 5\)
b) \(y = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}x + {x^2} - 0,5{x^4}\)
c) \(y = \left( {2x - 3} \right)\left( {{x^4} + 10} \right)\)
d) \(y = \dfrac{{5x - 3}}{{{x^2} + x + 1}}\)
e) \(y = \sqrt {2x + 5} \)
Bài 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \sin \left( {2x + 1} \right)\)
b) \(y = \tan \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\)
c) \(y = \sin {x^2} + {\cos ^2}x\)
Dạng 2. Giải phương trình
Bài 1. Cho hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}m{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - mx + 3\). Xác định giá trị của tham số m để:
a) \(y' \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)
b) \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt âm.
c) \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 + x_2^2 = 3\).
Bài 2. Giải phương trình \(y' = 0\) biết:
a) \(y = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}\)
b) \(y = {x^3} - 2x\)
c) \(4{x^3} - 12{x^2} + 9x - 1\)
d) \(y = \dfrac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\)
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức về đạo hàm
Bài 1. Chứng minh rằng:
a) \(y' - {y^2} - 1 = 0\), với \(y = \tan x\)
b) \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\), với \(y = \cot 2x\)
Bài 2. Chứng minh rằng \(y{'^2} + 4{y^2} - 4 = 0\), với \(y = \sin 2x\).
Dạng 4. Phương trình tiếp tuyến
Bài 1. Cho hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\). Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x - y = 9
c) Vuông góc với đường thẳng 2x + 4y - 2011 = 0
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 0)
Bài 2. Cho hàm số: \(y = \dfrac{{3x + 1}}{{1 - x}}\) (1).
a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-1;-1)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 4x - y + 1 = 0
e. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d'): 4x + y - 8 = 0
Phần 4
Hình học
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA = a\sqrt 2 \) và vuông góc với mặt đáy. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc vủa A lên SB, SD. Điểm O là tâm của đáy.
1) CMR: Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.
2) CMR: \(AB' \bot \left( {SBC} \right),B'D' \bot \left( {SAC} \right)\).
3) CMR: \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {AB'D'} \right),\)\(\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right),\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)
4) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SBA), SA và mặt phẳng (SBD), SC và (ABCD).
5) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD); (SBD) và (ABCD); (SBC) và (ABCD).
6) Tình góc giữa AC và SB, giữa SO và BC.
7) Tính \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right),d\left( {O,\left( {SAD} \right)} \right)\).
Bài 2. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên có độ dài là \(a\sqrt 3 \). Gọi M là trung điểm của BC.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng A’C’, MB’.
b) Tính theo a khoảng cách từ đỉnh A’ đến mặt phẳng (A’B’C).
Bài 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai đáy ABCD và A’B’C’D’.
a) CMR: \(CD' \bot \left( {ADC'} \right),\)\(B'C \bot \left( {ABC'} \right),\left( {ACC'} \right) \bot \left( {B'D'C} \right)\).
b) Tính góc tạo bởi B’C và DC’; AC và (B’D’C); (B’D’C) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách: từ A đến (B’D’C), giữa BD và B’C.
d) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A’D’, CC’. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNP).
Bài 4. Cho tứ diện đều SABC cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC, \(M \in SI:\dfrac{{IM}}{{{\rm{IS}}}} = \dfrac{3}{5}\).
a) Xác định hình chiếu của S trên (ABC) và chứng minh \(BC \bot SA\)
b) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp và độ dài đoạn AM.
c) Gọi (P) là mp chứa AM và song song với BC. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (P).
d) Tính khoảng cách từ I đến (P) và góc tạo bởi AB và (P).
