Video hướng dẫn giải
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(P, Q, R, S\) là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh \(AB, BC, CD, DA\). Chứng minh rằng nếu bốn điểm \(P, Q, R, S\) đồng phẳng thì:
LG a
Ba đường thẳng \(PQ, SR, AC\) hoặc song song hoặc đồng quy.
Phương pháp giải:
+) Xác định 3 mặt phẳng mà giao tuyến của chúng là \(PQ, SR, AC\) để vận dụng định lí sau:
Định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng):
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Lời giải chi tiết:
Gọi mặt phẳng qua bốn điểm \(P, Q, R, S\) là \((α)\). Ta có:
\(\;\begin{array}{*{20}{l}}
{PQ{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {ABC} \right){\rm{ }} \cap \;\left( \alpha \right)}\\
{RS{\rm{ }} = \;\left( \alpha \right){\rm{ }} \cap \;\left( {ACD} \right)}\\
{AC{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {ACD} \right){\rm{ }} \cap \;\left( {ABC} \right)}
\end{array}\)
\(\Rightarrow PQ, AC, RS\) hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
LG b
Ba đường thẳng \(PS, RQ, BD\) hoặc song song hặc đồng quy.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = PS\\\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = QR\\\left( {BCD} \right) \cap \left( {ABD} \right) = BD\end{array} \right.\)
Do đó các giao tuyến \(PS,RQ,BD\) hoặc đôi một song song, hoặc đồng quy.
