Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M là trung điểm của đoạn AB, E là giao điểm của hai cạnh của hình thang ABCD và G là trọng tâm của tam giác ECD.
a) Chứng minh rằng bốn điểm S,E,M,G cùng thuộc một mặt phẳng (α) và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) theo cùng một giao tuyến d.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
c) Lấy một điểm K trên đoạn SE và gọi C′=SC∩KB,D′=SD∩KA. Chứng minh rằng hai giao điểm của AC′ và BD′ thuộc đường thẳng d nói trên.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh mặt phẳng (α) chính là mặt phẳng (SEM).
b) Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
c) Gọi I=AC′∩BD′, chứng minh AC′⊂(SAC);BD′⊂(SBD)⇒I là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Lời giải chi tiết
a) Gọi O là giao điểm của AC và DB; N là giao của EM và DC.
M là trung điểm của AB nên N là trung điểm của DC (vì ABCD là hình thang)
Mà G là trọng tâm tam giác EDC nên G∈EN
⇒G∈(SEM) hay các điểm S,E,G,M cùng thuộc mặt phẳng (α) chính là mặt phẳng (SEM)
Ta dễ thấy {(SEM)∩(SAC)=SO(SEM)∩(SBD)=SO
b) E=AD∩BC⇒E∈AD⇒E∈(SAD)
E∈BC⇒E∈(SBC)
Vậy E là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
⇒(SAD)∩(SBC)=SE
c) C′=SC∩KB⇒C′∈SC⇒C′∈(SAC)⇒AC′⊂(SAC)
Tương tự ta có: BD′∈(SDB)
Hai đường thẳng AC′ và BD′ cùng thuộc mặt phẳng (ABK), giả sử I=AC′∩BD′
I∈AC′⊂(SAC);I∈BD′⊂(SDB)
⇒I là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SDB) hay I∈d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
