Đề bài
Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh aa, cạnh SASA bằng aa và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)(ABCD).
a) Chứng minh rằng bốn mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Mặt phẳng (α)(α) đi qua AA và vuông góc với cạnh SCSC lần lượt cắt SB,SCSB,SC và SDSD tại B′,C′ và D′. Chứng minh B′D′ song song với BD và AB′ vuông góc với SB.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
b) Chứng minh AB′⊥(SBC)⇒AB′⊥SB
Chứng minh hai đường thẳng BD và B′D′ cùng vuông góc với mặt phẳng (SAC)
Lời giải chi tiết
a) SA⊥(ABCD) ⇒SA⊥AB;SA⊥AD⇒ΔSAB,ΔSAD là các tam giác vuông tại A.
Ta có:
{BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB⇒ΔSBC vuông tại B.
Tương tự:
{CD⊥ADCD⊥SA⇒CD⊥(SAD)⇒CD⊥SD⇒ΔSCD vuông tại D.
b) Ta có BC⊥(SAB)(cmt)⇒AB′⊥BC.
{SC⊥(α)AB′⊂(α)⇒SC⊥AB′
{AB′⊥BCAB′⊥SC⇒AB′⊥(SBC)
⇒AB′⊥SB.
Chứng minh tương tự ta có AD′⊥(SCD)⇒AD′⊥SD.
Dễ thấy ΔSAD=ΔSAB(c.g.c) ⇒AB′=AD′ (hai đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh)
⇒ΔSAD′=ΔSAB′ ⇒SD′=SB′ (cạnh tương ứng)
Mà SD=SB (do ΔSAD=ΔSAB) nên SD′SD=SB′SB⇒B′D′//BD
Cách khác:
b) Ta có thể chứng minh B′D′//BD như sau:
SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD{BD⊥ACBD⊥SA⇒BD⊥(SAC)⇒BD⊥SCSC⊥(AB′C′D′)⇒BD//(AB′C′D′){BD//(AB′C′D′)BD⊂(SBD)(SBD)∩(AB′C′D′)=B′D′⇒B′D′//BD
