Đề bài
Câu 1: Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
A. 25 B. 26
C. 31 D. 32
Câu 2: Cho \(C_n^{n - 3} = 1140\). Tính \(A = \,\dfrac{{A_n^6 + A_n^5}}{{A_n^4}}\)
A. 256 B. 342
C. 231 D. 129
Câu 3: Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi.
A. 240 B. 151200
C. 14200 D. 210
Câu 4: Nếu \(2A_n^4 = 3A_{n - 1}^4\) thì n bằng
A. n = 11 B. n = 12
C. n = 13 D. n = 14
Câu 5: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn
A. 40551 B. 42802
C. 41811 D. 32023
Câu 6: Cho 2 đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt \((n \ge 2)\). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n?
A. 20 B. 21
C. 30 D. 32
Câu 7: Tìm \(x \in \mathbb{N}\), biết \(C_x^0 + C_x^{x - 1} + C_x^{x - 2} = 79\)
A. \(x = 13\) B. \(x = 17\)
C. \(x = 16\) D. \(x = 12\)
Câu 8: Tìm \(n\) biết \(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 243\)
A. \(n = 4\) B. \(n = 5\)
C. \(n = 6\) D. \(n = 7\)
Câu 9: Có 8 quả cân lần lượt là 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong 8 quả cân đó. Tính xác suất để trọng lượng 3 quả cân được chọn không vượt quá 9kg.
A. \({1 \over {15}}\) B. \({1 \over 7}\)
C. \({1 \over {28}}\) D. \({1 \over 8}\)
Câu 10: Giải phương trình sau \(24(A_{x + 1}^3 - C_x^{x - 4}) = 23A_x^4\)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
Lời giải chi tiết
| 1B | 2A | 3D | 4B | 5C |
| 6A | 7D | 8B | 9D | 10C |
Câu 1:
Theo yêu cầu bài toán:
+ Nhóm có 2 người có \(C_5^2 = 10\)
+ Nhóm có 3 người có \(C_5^3 = 10\)
+ Nhóm có 4 người có 5 cách
+ Nhóm có 5 người có 1 cách
Vậy có tất cả 26 cách.
Chọn đáp án B.
Câu 2:
Ta có: \(C_n^{n - 3} = 1140 \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!.3!}} = 1140\)
\(\Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 6840\)
\( \Leftrightarrow \left( {{n^2} - n} \right)\left( {n - 2} \right) = 6840\)
\(\Leftrightarrow {n^3} - 2{n^2} - {n^2} + 2n = 6840\)
\( \Leftrightarrow n = 20\)
Với \(n = 20\) ta có: \(A = \,\dfrac{{A_{20}^6 + A_{20}^5}}{{A_{20}^4}} = 256\)
Chọn đáp án A.
Câu 3:
Số cách lấy ra 6 bánh phát cho các em thiếu nhi là: \(C_{10}^6 = 210\) (cách)
Chọn đáp án D.
Câu 4:
Điều kiện: \(n \ge 5\)
Ta có: \(2A_n^4 = 3A_{n - 1}^4 \)
\(\Leftrightarrow 2\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 4} \right)!}} = 3\dfrac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 5} \right)!}}\)
\( \Leftrightarrow 2n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right) \)\(= 3\left( {n - 4} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2n = 3\left( {n - 4} \right) \Leftrightarrow n = 12\)
Chọn đáp án A.
Câu 5:
Số cách chọn 8 trong 18 em là \(C_{18}^8\).
Ta đếm số cách chọn 8 em mà không có đủ cả 3 khối.
Dễ thấy không có trường hợp nào là chỉ chọn được 8 em trong cùng một khối (do \(8 > 7,8 > 6,8 > 5\))
Nên chỉ có thể xảy ra trường hợp 8 em chọn được thuộc đúng 2 khối.
TH1: 8 em chọn được thuộc khối 12 và 11 có \(C_{13}^8\) cách chọn.
TH2: 8 em chọn được thuộc khối 11 và 10 có \(C_{11}^8\) cách chọn.
TH3: 8 em chọn được thuộc khối 12 và 10 có \(C_{12}^8\) cách chọn.
Do đó có \(C_{13}^8 + C_{11}^8 + C_{12}^8 = 1947\) cách chọn 8 em mà chỉ nằm trong 2 khối.
Vậy có \(C_{18}^8 - 1947 = 41811\) cách chọn.
Chọn đáp án C
Câu 6:
Số tam giác được tạo thành từ đề bài: \(C_{10}^2C_n^1 + C_{10}^1C_n^2\)
Theo giả thiết ta có: \(C_{10}^2C_n^1 + C_{10}^1C_n^2 = 2800\)
\( \Leftrightarrow 45\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + 10\dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 2800\)
\( \Leftrightarrow 45n + 5n\left( {n - 1} \right) = 2800\)
\( \Leftrightarrow 5{n^2} + 40n - 2800 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\\n = - 28\end{array} \right.\)
Chọn đáp án A.
Câu 7:
Ta có: \(C_x^0 + C_x^{x - 1} + C_x^{x - 2} = 79\)
\( \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{x!}}{{\left( {x - 1} \right)!}} + \dfrac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!2!}} = 79\)
\( \Leftrightarrow x + \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} = 78 \Leftrightarrow {x^2} + x - 156 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = - 13\end{array} \right.\)
Chọn đáp án D.
Câu 8:
Ta có: \({\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_n^{k = 0} {C_n^k} {x^k}\)
\(\Rightarrow {3^n} = {2^k}C_n^k = C_n^0 + 2C_n^1 + \ldots + {2^n}C_n^n = 243\)
Khi đó ta có: \({3^n} = 243 \Leftrightarrow n = 5.\)
Chọn đáp án B.
Câu 9:
Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong 8 quả cân ta có \(\left| \Omega \right| = C_8^3 = 56\)
Gọi A là biến cố chọn được 3 quả cân và tổng trọng lượng 3 quả cân không vượt quá 9 kg.
Vì
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 = 6 < 9\\1 + 2 + 4 = 7 < 9\\1 + 2 + 5 = 8 < 9\\1 + 2 + 6 = 9\\1 + 3 + 4 = 8 < 9\\1 + 3 + 5 = 9\\2 + 3 + 4 = 9\end{array}\)
Nên \(\left| A \right| = 7\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{7}{{56}} = \dfrac{1}{8}\)
Chọn đáp án D
Câu 10:
Ta có: \(24(A_{x + 1}^3 - C_x^{x - 4}) = 23A_x^4\)
\(\Leftrightarrow 24\left( {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \dfrac{{x!}}{{\left( {x - 4} \right)!4!}}} \right) = 23\dfrac{{x!}}{{\left( {x - 4} \right)!}}\)
\( \Leftrightarrow 24\left[ {\left( {x - 1} \right)x\left( {x + 1} \right) - \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{4!}}} \right] \)\(= 23x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow 24\left[ {x + 1 - \dfrac{{{x^2} - 5x + 6}}{{24}}} \right] = 23\left( {{x^2} - 5x + 6} \right)\)
\( \Leftrightarrow 24x + 24 - {x^2} + 5x - 6 = 23{x^2} - 115x + 138\)
\( \Leftrightarrow 24{x^2} - 144x + 120 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\end{array} \right.\)
Chọn đáp án C
