Đề bài
Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và ^BAC=^BAD=600. Chứng minh rằng:
a) AB⊥CD;
b) Nếu M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN⊥AB và MN⊥CD.
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
a) →AB.→CD=→AB(→AD−→AC)
=→AB.→AD−→AB.→AC
=AB.AD.cos^BAD−AB.AC.cos^BAC=0
⇒AB⊥CD.
b) →MN=→MA+→AD+→DN, (1)
→MN=→MB+→BC+→CN. (2)
Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:
2→MN=(→MA+→MB)+(→AD+→BC)+(→DN+→CN)=→0+(→AD+→BC)+→0=→AD+→BC⇒→MN=12(→AD+→BC)=12(→AD+→AC−→AB)
Ta có →AB.→MN=12→AB.(→AD+→AC−→AB)
=12(→AB.→AD+→AB.→AC−AB2)
=12(AB.AD.cos^BAD+AB.AC.cos^BAC−AB2)
=12(AB.AD.cos600+AB.AC.cos600−AB2)
=12(12AB2+12AB2−AB2)=0 ⇒AB⊥MN.
→MN.→CD=12(→AD+→AC−→AB).(→AD−→AC)=12(→AD2+→AC.→AD−→AB.→AD−→AC.→AD−→AC2+→AB.→AC)=12(AD2−→AB.→AD−AC2+→AB.→AC)=12(AD2−AB.ACcos^BAD−AC2+AB.AC.cos^BAC)=12(AB2−AB2cos600−AB2+AB2cos600)=12.0=0⇒MN⊥CD
