Đề bài
Chứng minh rằng phương trình x5–3x4+5x–2=0x5–3x4+5x–2=0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (−2,5)(−2,5).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hàm số y=f(x)y=f(x) liên tục trên [a;b][a;b] và có f(a).f(b)<0f(a).f(b)<0. Khi đó phương trình f(x)=0f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệm x0∈(a;b)x0∈(a;b).
- Xét hàm số f(x)=x5–3x4+5x–2f(x)=x5–3x4+5x–2
- Thay một số giá trị của xx (trong khoảng (−2;5)(−2;5) vào f(x)f(x) và tính giá trị.
- Sử dụng lý thuyết trên đánh giá số nghiệm ít nhất của phương trình trong khoảng (−2;5)(−2;5).
Lời giải chi tiết
Đặt f(x)=x5–3x4+5x–2f(x)=x5–3x4+5x–2, ta có:
+) Hàm số f(x)f(x) là hàm số đa thức liên tục trên R.
{f(0)=−2<0f(1)=1−3+5−2=1>0f(2)=25−3.24+5.2−2=−8<0f(3)=35−3.34+5.3−2=13>0⇒{f(0).f(1)<0(1)f(1).f(2)<0(2)f(2).f(3)<0(3)
Do đó f(x) có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0,1), một nghiệm trên khoảng (1,2), một nghiệm trên khoảng (2,3).
Mà các khoảng (0;1), (1;2) và (2;3) đôi một không có điểm chung.
Vậy phương trình x5–3x4+5x–2=0 có ít nhất ba nghiệm trên khoảng (−2,5) (đpcm)
