Đề bài
Chứng minh rằng phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2 = 0\) có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng \((-2, 5)\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\). Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
- Xét hàm số \(f(x)=x^5– 3x^4+ 5x – 2\)
- Thay một số giá trị của \(x\) (trong khoảng \((-2;5)\) vào \(f(x)\) và tính giá trị.
- Sử dụng lý thuyết trên đánh giá số nghiệm ít nhất của phương trình trong khoảng \((-2;5)\).
Lời giải chi tiết
Đặt \(f(x) = x^5– 3x^4+ 5x – 2\), ta có:
+) Hàm số \(f(x)\) là hàm số đa thức liên tục trên \(\mathbb R\).
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
f(0) = - 2 < 0 \hfill \cr
f(1) = 1 - 3 + 5 - 2 = 1 > 0 \hfill \cr
f(2) = {2^5} - {3.2^4} + 5.2 - 2 = - 8 < 0 \hfill \cr
f(3) = {3^5} - {3.3^4} + 5.3 - 2 = 13 > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
f(0).f(1) < 0\,\,\,\,(1) \hfill \cr
f(1).f(2) < 0\,\,\,\,(2) \hfill \cr
f(2).f(3) < 0\,\,\,\,(3) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Do đó \(f(x)\) có ít nhất một nghiệm trên khoảng \((0, 1)\), một nghiệm trên khoảng \((1, 2)\), một nghiệm trên khoảng \((2, 3)\).
Mà các khoảng \(\left( {0;1} \right)\), \( \left( {1;2} \right)\) và \( \left( {2;3} \right)\) đôi một không có điểm chung.
Vậy phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất ba nghiệm trên khoảng \((-2, 5)\) (đpcm)
