Đề bài
A. PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm).
Câu 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3+3x2 tại điểm có hoành độ x0=1 có phương trình là
A. y=9x+4.
B. y=9x−5.
C. y=4x+13.
D. y=4x+5.
Câu 2: Tìm tham số m để hàm số f(x)={2x2−7x+6x−2khix≠22m+5khix=2 liên tục tại điểm x=2.
A. m=−2.
B. m=−74.
C. m=−94.
D. m=−3.
Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
A. Nếu đường thẳng d⊥(α) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α).
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d⊥(α).
C. Nếu d⊥(α) và đường thẳng a//(α) thì d⊥a.
D. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α) thì d vuông góc với (α).
Câu 4: Một chất điểm chuyển động có phương trình là s=t2+2t+3 (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5 giây là
A. 15(m/s). B. 38(m/s).
C. 5(m/s). D. 12(m/s).
Câu 5: Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′, M là trung điểm của BB′. Đặt →CA=→a, →CB=→b, →AA′=→c. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. →AM=→b+→c−12→a.
B. →AM=→a−→c−12→b.
C. →AM=→a+→c−12→b.
D. →AM=→b−→a+12→c.
Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AC=a, BD=3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc vớiBD. Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a.
A. MN=3a√22.
B. MN=a√63.
C. MN=a√102.
D. MN=2a√33.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA⊥(ABCD). Biết SA=a√63. Tính góc giữa SC và (ABCD).
A. 600. B. 450.
C. 300. D. 900.
Câu 8: Tìm tất cả các số thực x để ba số 3x−1; x; 3x+1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
A. x=±18.
B. x=±√24.
C. x=±2√2.
D. x=±8.
Câu 9: Cho dãy số (un) có un=n2+2n. Số hạng thứ tám của dãy số là:
A. u8=99. B. u8=80.
C. u8=63. D. u8=120.
Câu 10: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
A. Sn=n2[u1+(n−1)d].
B. Sn=n2[u1+(n+1)d].
C. Sn=n2[2u1+(n−1)d].
D. Sn=n2[2u1+(n+1)d].
Câu 11: Cho hàm sốf(x)=x3+3x2−9x−2019. Tập hợp tất cả các số thực x sao cho f′(x)=0 là
A. {−3;2}. B. {−3;1}.
C. {−6;4}. D. {−4;6}.
Câu 12: Tìm số các số nguyên m thỏa mãn
limx→+∞(3√mx2+2x+1−mx)=+∞.
A. 4 B. 10
C. 3 D. 9
Câu 13: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn ?
A. un=n+2019sinn.
B. un=(20192018)n.
C. un=2n2+2019.
D. un=n+1n+2019.
Câu 14: Biết f(x), g(x) là các hàm số thỏa mãn limx→1f(x)=−2 và limx→1g(x)=5. Khi đó limx→1[2f(x)+g(x)] bằng
A. 1. B. 3.
C. -1. D. 2.
Câu 15: Cho cấp số cộng (un). Tìm u1 và công sai d,biết tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là Sn=2n2−5n.
A. u1=−3;d=4.
B. u1=−3;d=5.
C. u1=1;d=3.
D. u1=2;d=2.
Câu 16: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, EF=a√32, (E,F lần lượt là trung điểm của BC vàAD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:
A. 300. B. 450.
C. 600. D. 900.
Câu 17: Đạo hàm của hàm số y=2x+1x−1 trên tập R∖{1} là
A. y′=−1(x−1)2.
B. y′=1(x−1)2.
C. y′=−3(x−1)2.
D. y′=3(x−1)2.
Câu 18: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
A. (0,99)n.
B. n2+4n+1n+1.
C. n+12n+3.
D. (1,1)n.
Câu 19: Cho f(x)=3x2; g(x)=5(3x−x2). Bất phương trình f′(x)>g′(x) có tập nghiệm là
A. (−1516;+∞).
B. (−∞;1516).
C. (−∞;−1516).
D. (1516;+∞).
Câu 20: Tính limx→+∞√2x2+x−√x2+12x+1.
A. √2−12. B. 12.
C. 32. D. √2+12.
B. PHẦN CÂU HỎI TỰ LUẬN (5,0 điểm).
Câu I. (3,0 điểm).
1. Tính giới hạn limx→1√x+3−2√xx−1.
2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=3x−2x−1 biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y=−x+25.
Câu II. (2,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD) và SA=a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,SD.
1. Chứng minh rằng BC⊥AM và AM⊥(SBC).
2. Gọi số đo góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABCD) là α. Tính cosα.
Lời giải chi tiết
A. PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm).
| 1. B | 2. A | 3. B | 4. D | 5. D |
| 6. C | 7. C | 8. B | 9. B | 10. C |
| 11. B | 12. B | 13. D | 14. A | 15. A |
| 16. C | 17. C | 18. A | 19. D | 20. A |
Câu 1
Phương pháp:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=x0 là:
y=f′(x0)(x−x0)+f(x0).
Cách giải:
TXĐ: D=R.
Ta có: y′=3x2+6x ⇒y′(1)=3.12+6.1=9. Mặt khác có y0=13+3.12=4.
Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3+3x2 tại điểm có hoành độ x0=1 có phương trình là:
y=9(x−1)+4⇔y=9x−5
Chọn B.
Câu 2
Phương pháp:
Để hàm số y=f(x) liên tục tại x=x0 thì x0 thuộc tập xác định của hàm số và limx→x0f(x)=f(x0).
Cách giải:
TXĐ: D=R, x=2∈D.
Ta có:
limx→2f(x)=limx→22x2−7x+6x−2=limx→2(x−2)(2x−3)x−2=limx→2(2x−3)=1f(2)=2m+5
Để hàm số liên tục tại x=2 thì limx→2f(x)=f(2)⇔2m+5=1⇔m=−2.
Chọn A.
Câu 3
Phương pháp:
Sử dụng các định lí sau:
+) {d⊥(P)∀a⊂(P)⇒d⊥a.
+) {d⊥ad⊥ba∩b⊂(P)⇒d⊥(P).
+) {d⊥(P)d∥d′⇒d′⊥(P).
Cách giải:
Dễ thấy mệnh đề B: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d⊥(α) là mệnh đề sai vì thiếu điều kiện hai đường thẳng cắt nhau.
Chọn B.
Câu 4
Phương pháp:
Vận tốc tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=t0 giây là v(t0)=s′(t0).
Cách giải:
Ta có: s′=2t+2.
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5 giây là v(5)=s′(5) =2.5+2=12(m/s)
Chọn D.
Câu 5
Phương pháp:
Sử dụng công thức trung điểm: →AM=12(→AB+→AB′) và công thức hình bình hành: →AB′=→AB+→AA′.
Cách giải:
Ta có:
→AM=12(→AB+→AB′)=12(→AB+→AB+→AA′)=→AB+12→AA′=→CB−→CA+12→AA′=→b−→a+12→c
Chọn D.
Câu 6
Phương pháp:
- Gọi P là trung điểm của AC. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác chứng minh tam giác MNP vuông tại P và tính độ dài NP, MP.
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MNP tính độ dài MN.
Cách giải:
Gọi P là trung điểm của AC. Khi đó ta có:
+ NP là đường trung bình của tam giác ABC nên NP = 12AC = a2 và NP // AC.
+ MP là đường trung bình của tam giác ABD nên MP = 12BD = 3a2 và MP // BD.
Mà AC⊥BD(gt) nên NP⊥MP⇒ΔMNP vuông tại P.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MNP có:
MN=√MP2+NP2=√9a24+a24=a√102.
Chọn C.
Câu 7
Phương pháp:
- Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên (ABCD).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Cách giải:
Vì SA⊥(ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).
⇒∠(SC;(ABCD))=∠(SC;AC)=∠SCA .
Vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥AC, do đó tam giác SAC vuông tại A.
Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên AC=a√2.
Xét tam giác vuông SAC có: tan∠SCA=SAAC=a√63:a√2=√33 ⇒∠SCA=300
Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 300.
Chọn C.
Câu 8
Phương pháp:
Sử dụng tính chất cấp số nhân: Ba số a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì ac=b2.
Cách giải:
Để ba số 3x−1; x; 3x+1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì:
(3x−1)(3x+1)=x2⇔9x2−1=x2⇔8x2=1⇔x=±√24
Chọn B.
Câu 9
Phương pháp:
Thay n=8 để tính số hạng thứ 8 là u8.
Cách giải:
Số hạng thứ 8 của dãy là u8=82+2.8=80.
Chọn B.
Câu 10
Phương pháp:
Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là Sn=n2[2u1+(n−1)d].
Cách giải:
Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là Sn=n2[2u1+(n−1)d].
Chọn C.
Câu 11
Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số, sử dụng công thức tính đạo hàm: (xn)′=n.xn−1.
- Giải phương trình bậc hai.
Cách giải:
TXĐ: D=R.
Ta có: f′(x)=3x2+6x−9.
Khi đó: f′(x)=0⇔3x2+6x−9=0 ⇔[x=1x=−3 .
Vậy tập nghiệm của phương trình f′(x)=0 là {−3;1}.
Chọn B.
Câu 12
Phương pháp:
- Đặt nhân tử chung x ra ngoài.
- Xét dấu.
Cách giải:
Ta có:
limx→+∞(3√mx2+2x+1−mx)=limx→+∞x(3√m+2x+1x2−m)
Ta có: limx→+∞x=+∞, do đó để limx→+∞(3√mx2+2x+1−mx)=+∞ thì limx→+∞(3√m+2x+1x2−m)>0
⇔{3√m−m>0m≥0⇔{m≥03√m>m⇔{m≥09m>m2⇔{m≥00<m<9⇔0<m<9
Mà m∈Z⇒m∈{1;2;3;4;5;6;7;8}
Với m=0 ta có: limx→+∞(3√2x+1)=+∞(tm), với m=9 ta có: limx→+∞(3√9x2+2x+1−9x)=1 (KTM)
Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Câu 13
Phương pháp:
- Xét hiệu H=un+1−un hoặc thương T=un+1un để xem dãy số tăng hay giảm.
- Chứng minh m≤un≤M∀n∈N∗, khi đó dãy số bị chặn trên bởi M và bị chặn dưới bởi m.
Cách giải:
Xét đáp án D ta có: un=n+1n+2019⇒un+1=n+2n+2020
Xét hiệu H=un+1−un ta có:
H=un+1−un=n+2n+2020−n+1n+2019=(n+2)(n+2019)−(n+1)(n+2020)(n+2019)(n+2020)=n2+2021n+4038−n2−2021n−2020(n+2019)(n+2020)=2018(n+2019)(n+2020)>0,∀n∈N∗
Do đó dãy số un=n+1n+2019 là dãy số tăng.
Ta có: un=n+1n+2019=1−2018n+2019<1,∀n∈N∗
Do đó dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1.
Lại có:
n≥1⇔n+2019≥2020⇔2018n+2019≤20182020=10091010⇒−2018n+2019≥−10091010⇒un=1−2018n+2019≥11010
Do đó dãy số bị chặn dưới bởi 11010.
Vậy dãy số un=n+1n+2019 là dãy số bị chặn.
Chọn D.
Câu 14
Phương pháp:
Sử dụng định lí: Giả sử limx→x0f(x)=L và limx→x0g(x)=M, khi đó: limx→x0[f(x)+g(x)]=L+M.
Cách giải:
Ta có:
limx→1[2f(x)+g(x)]=2limx→1f(x)+limx→1g(x)=2.(−2)+5=1.
Chọn A.
Câu 15
Phương pháp:
- Thay n=1 tính S1=u1.
- Thay n=2 tính S2=u1+u2 từ đó tính được u2.
- Tính công sai d=u2−u1.
Cách giải:
Thay n=1 ta có S1=2.12−5.1=−3=u1.
Thay n=2 ta có S2=2.22−5.2=−2=u1+u2
⇒u2=S2−u1=−2−(−3)=1.
⇒d=u2−u1=1−(−3)=4.
Vậy u1=−3,d=4.
Chọn A.
Câu 16
Phương pháp:
- Gọi M là trung điểm của AC.
Chứng minh ME // AB và MF // CD, từ đó suy ra ∠(AB;CD)=∠(ME;MF).
- Áp dụng định lí Cosin trong tam giác MEF: cos∠EMF=ME2+MF2−EF22ME.MF, từ đó tính ∠EMF.
- Kết luận:
+) ∠(AB;CD)=∠(ME;MF)=∠EMF khi ∠EMF≤900
+) ∠(AB;CD)=∠(ME;MF)=1800−∠EMF khi ∠EMF>900 .
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của AC.
Ta có:
+ ME là đường trung bình của tam giác ABC nên ME // AB và ME=12AB=a2.
+ MF là đường trung bình của tam giác ACD nên MF // CD và MF=12CD=a2.
Do đó ∠(AB;CD)=∠(ME;MF).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác MEF ta có:
cos∠EMF=ME2+MF2−EF22ME.MF=a24+a24−3a242.a2.a2=−12⇒∠EMF=1200
Vậy ∠(AB;CD)=∠(ME;MF)=1800−1200=600
Chọn C.
Câu 17
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính nhanh: (ax+bcx+d)′=ad−bc(cx+d)2(ad≠bc).
Cách giải:
Áp dụng công thức tính nhanh ta có:
y=2x+1x−1 ⇒y′=2.(−1)−1.1(x−1)2=−3(x−1)2.
Chọn C.
Câu 18
Phương pháp:
Sử dụng kết quả: limxn=0 với x<1
Cách giải:
Ta có:
lim(0,99)n=0 do 0,99<1.
limn2+4n+1n+1=+∞ do bậc tử > bậc mẫu.
limn+12n+3=lim1+1n2+3n=12.
lim(1,1)n=+∞ do 1,1>1.
Chọn A.
Câu 19
Phương pháp:
- Tính đạo hàm của các hàm số, sử dụng công thức (xn)′=n.xn−1.
- Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn: ax+b>0⇔x>−ba (a≠0).
Cách giải:
Ta có:
f′(x)=6xg′(x)=5.(3−2x)=15−10x
Khi đó ta có:
f′(x)>g′(x)⇔6x>15−10x⇔16x>15⇔x>1516
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1516;+∞).
Chọn D.
Câu 20
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho x.
Cách giải:
Ta có:
limx→+∞√2x2+x−√x2+12x+1=limx→+∞√2+1x−√1+1x2+1x=√2−12
Chọn A.
B. PHẦN CÂU HỎI TỰ LUẬN (5,0 điểm).
Câu I (VD):
Phương pháp:
1. Thêm bớt 2, sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
2. Gọi M(x0;3x0−2x0−1) là điểm thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến tại M.
Hai đường thẳng song song thì hệ số góc của chúng bằng nhau. Giải phương trình tìm x0, từ đó thay vào viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Cách giải:
1. Tính giới hạn limx→1√x+3−2√xx−1.
Ta có:
limx→1√x+3−2√xx−1=limx→1√x+3−2+2−2√xx−1=limx→1√x+3−2x−1+limx→12−2√xx−1=limx→1x+3−4(x−1)(√x+3+2)+limx→14−4x(x−1)(2+2√x)=limx→11√x+3+2+limx→1−21+√x=12+2−21+1=14−1=−34
2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}} biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y = -x + 25.
TXĐ: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}. Ta có y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.
Gọi M\left( {{x_0};\frac{{3{x_0} - 2}}{{{x_0} - 1}}} \right) là điểm thuộc đồ thị hàm số.
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là: y = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{3{x_0} - 2}}{{{x_0} - 1}} \left( \Delta \right).
Vì \Delta \parallel d nên - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = - 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 1\\{x_0} - 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 0\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)
+ Với {x_0} = 2 \Rightarrow Phương trình tiếp tuyến: y = - 1\left( {x - 2} \right) + 4 \Rightarrow y = - x + 6.
+ Với {x_0} = 0 \Rightarrow Phương trình tiếp tuyến: y = - 1\left( {x - 0} \right) + 2 \Rightarrow y = - x + 2.
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y = - x + 6 và y = - x + 2.
Câu II (VD):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA \bot (ABCD) và SA = a. Gọi M,\,\,N lần lượt là trung điểm của SB,\,\,SD.
Phương pháp:
1. Chứng minh BC \bot \left( {SAB} \right), từ đó suy ra BC \bot AM.
Chứng minh AM \bot SB, từ đó suy ra AM \bot \left( {SBC} \right).
2. Chứng minh SC \bot \left( {AMN} \right).
Sử dụng kết quả: \left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\b \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \angle \left( {a;b} \right).
Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và công thức 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.
Cách giải:
1. Chứng minh rằng BC \bot AM và AM \bot \left( {SBC} \right){\rm{.}}
+ Ta có: \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).
Mà AM \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM.
+ Xét tam giác SAB có: SA = AB = a\,\,\left( {gt} \right), suy ra tam giác SAB cân tại A.
Do đó trung tuyến AM đồng thời là đường cao, nên AM \bot SB.
Lại có AM \bot BC\,\,\left( {cmt} \right), do đó AM \bot \left( {SBC} \right).
2. Gọi số đo góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABCD) là \alpha . Tính \cos \alpha .
Ta có: AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AM \bot SC.
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có AN \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AN \bot SC.
\left\{ \begin{array}{l}SC \bot AM\\SC \bot AN\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AMN} \right).
Mặt khác: SA \bot \left( {ABCD} \right)\,\,\left( {gt} \right), do đó: \angle \left( {\left( {AMN} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SA} \right) = \angle ASC .
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a\sqrt 2 .
Xét tam giác vuông SAC có: \tan \angle ASC = \frac{{AC}}{{SA}} = \sqrt 2 \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt 2 .
Vậy \cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.
