Bài 2 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11

149 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính đạo hàm của các hàm số sau

LG a

$y = 2\sqrt x {\mathop{\rm sinx}\nolimits} - {{\cos x} \over x}$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải chi tiết:

$y' =\left (2\sqrt x {\mathop{\rm sinx}\nolimits} - {{\cos x} \over x}\right)'$

$\begin{array}{l} = 2\left( {\sqrt x \sin x} \right)' - \left( {\dfrac{{\cos x}}{x}} \right)'\\ = 2\left[ {\left( {\sqrt x } \right)'\sin x + \sqrt x .\left( {\sin x} \right)'} \right] - \dfrac{{\left( {\cos x} \right)'.x - x'\cos x}}{{{x^2}}} \end{array}$

$\eqalign{ & = 2{1 \over {2\sqrt x }}\sin x + 2\sqrt x\cos x - {{ - x\sin x - \cos x} \over {{x^2}}} \cr & = \dfrac{{\sqrt x \sin x}}{x} + 2\sqrt x \cos x + \frac{{x\sin x + \cos x}}{{{x^2}}}\cr & = {{x\sqrt x \sin x + 2{x^2}\sqrt x\cos x + x\sin x + \cos x} \over {{x^2}}} \cr & = {{x(\sqrt x + 1)\sin x + (2{x^2}\sqrt x + 1)cosx} \over {{x^2}}} \cr}$

LG b

$\displaystyle y = {{3\cos x} \over {2x + 1}}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{*{20}{l}} {b)y' = \dfrac{{3\left( {\cos x} \right)'\left( {2x + 1} \right) - 3\cos x\left( {2x + 1} \right)'}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{ - 3\sin x\left( {2x + 1} \right) - 2.3\cos x}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \dfrac{{ - 6x\sin x - 3\sin x - 6\cos x}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}} \end{array}$

LG c

$\displaystyle y = {{{t^2} + 2\cos t} \over {\sin t}}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} y' = \frac{{\left( {2t - 2\sin t} \right)\sin t - \cos t({t^2} + 2\cos t)}}{{{{\sin }^2}t}}\\ = \frac{{2t\sin t - 2{{\sin }^2}t - {t^2}\cos t - 2{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}\\ = \frac{{2t\sin t - {t^2}\cos t - 2\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)}}{{{{\sin }^2}t}}\\ = \frac{{2t\sin t - {t^2}\cos t - 2}}{{{{\sin }^2}t}} \end{array}$

LG d

$y = {{2\cos \varphi - \sin \varphi } \over {3\sin \varphi + \cos \varphi }}$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \begin{array}{l} u = 2\cos \varphi - \sin \varphi \\ v = 3\sin \varphi + \cos \varphi \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u' = - 2\sin \varphi - \cos \varphi \\ v' = 3\cos \varphi - \sin \varphi \end{array} \right.$

Ta có:

$y = \frac{u}{v} \Rightarrow y'= \left ( \dfrac{u}{v} \right )^{^{'}}$ = $\dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$

Mà:

$\begin{array}{l} u'v - v'u = \left( { - 2\sin \varphi - \cos \varphi } \right).\left( {3\sin \varphi + \cos \varphi } \right) - \\ \left( {3\cos \varphi - \sin \varphi } \right).\left( {2\cos \varphi - \sin \varphi } \right)\\ = - 6{\sin ^2}\varphi - {\cos ^2}\varphi - 5\sin \varphi .\cos \varphi - \\ \left( {{{\sin }^2}\varphi + 6{{\cos }^2}\varphi - 5\sin \varphi .\cos \varphi } \right)\\ = - 6{\sin ^2}\varphi - {\cos ^2}\varphi - {\sin ^2}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi \\ = - 7{\sin ^2}\varphi - 7{\cos ^2}\varphi \\ = - 7\left( {{{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\varphi } \right)\\ = - 7. \end{array}$

$\Rightarrow y'= \frac{-7}{({3\sin \varphi + \cos \varphi})^2}$ .

LG e

$y = {{\tan x} \over {\sin x + 2}}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} y' = \frac{{\left( {\tan x} \right)'\left( {\sin x + 2} \right) - \tan x\left( {\sin x + 2} \right)'}}{{{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left( {\sin x + 2} \right) - \tan x\cos x}}{{{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\frac{{\sin x + 2}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cos x}}{{{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\sin x + 2 - \sin x{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\sin x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + 2}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\sin x.{{\sin }^2}x + 2}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\sin }^3}x + 2}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}} \end{array}$

LG f

$\displaystyle y = {{\cot x} \over {2\sqrt x - 1}}$

Lời giải chi tiết:

$y' = \dfrac{{\left( {\cot x} \right)'\left( {2\sqrt x - 1} \right) - \cot x\left( {2\sqrt x - 1} \right)'}}{{{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\left( {2\sqrt x - 1} \right) - \cot x.\dfrac{1}{{\sqrt x }}}}{{{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$

SGK Toán lớp 11