Phần 1
GIỚI HẠN
I. GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Dãy số có giới hạn hữu hạn
Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0\).
Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = L\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = L\) hoặc \(\lim {u_n} = L\).
Định lý 1: Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó:
i) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\).
ii) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \)
Định lý 2: Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và \(c\) là một hằng số. Khi đó:
i) Các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right),\left( {{u_n} - {v_n}} \right),\left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và \(\left( {c.{u_n}} \right)\) có giới hạn là:
+) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\)
+) \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M\)
+) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M\)
+) \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L\)
ii) Nếu \(M \ne 0\) thì dãy số \(\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\) có giới hạn là \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{L}{M}\).
Một số dãy số có giới hạn thường gặp:
+) \(\lim \frac{1}{n} = 0,\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0,\lim \frac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0,...\)
+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).
+) \(\lim c = c\)
2. Dãy số có giới hạn vô cực
i) \(\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n = + \infty ,\)\(\lim \sqrt[3]{n} = + \infty \)
ii) Nếu \(\lim {u_n} = - \infty \) thì \(\lim \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \)
Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực:
II. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\). Khi đó
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{L}{M},(M \ne 0)\end{array}\)
b) Nếu \(f(x) \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \) (dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x\( \ne {x_0}\).
Chú ý: Định lý trên vẫn đúng cho trường hợp \(x \to {x_0}^ + ,x \to {x_0}^ - ,\)\(x \to + \infty ,x \to - \infty \)
2. Định lí về giới hạn một bên
\(\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L\)
3. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = + \infty \)thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{f\left( x \right)}} = 0\)
+ Bảng quy tắc
4. tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}},|q| < 1\)
Chú ý: Các giới hạn cơ bản:
1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} C = C\) (C = const)
2. Nếu hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)
3. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{{x^n}}} = 0\) (với n > 0)
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\).
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).
2. Một số định lý cơ bản
ĐL 1:
- Hàm số đa thức liên tục trên R.
- Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại \({x_0}\) là những hàm số liên tục tại \({x_0}\) (trường hợp thương thì mẫu phải khác 0 tại \({x_0}\)).
ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho f(c) = 0.
IV. Các dạng bài tập thường gặp
1. Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số.
Phương pháp:
- Sử dụng các quy tắc đã học để tính.
- Nếu giới hạn của hàm số cần tính có một trong bốn dạng \(\frac{0}{0}\); \(\frac{\infty }{\infty }\); \(\infty - \infty \); 0.∞ thì ta phải khử dạng đó, bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ước hoặc nhân lượng liên hợp hoặc chia cả tử và mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu...Cụ thể:
* Dạng \(\frac{0}{0}\):
- Nếu tử, mẫu là những đa thức thì ta đặt thừa số \(\left( {x - {x_0}} \right)\) làm nhân tử chung và rút gọn nhân tử này ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.
- Nếu tử hay mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của tử hoặc mẫu và cũng rút gọn thừa số \(\left( {x - {x_0}} \right)\)ở tử và mẫu ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.
Cần chú ý các công thức biến đổi sau:
\(\begin{array}{l}a \pm b = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{a \mp b}}\\a \pm b = \frac{{{a^3} \pm {b^3}}}{{{a^2} \mp ab + {b^2}}}\end{array}\)
+ Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
+ Liên hợp của biểu thức:
1.\(\sqrt a - \sqrt b \) là \(\sqrt a + \sqrt b \)
2. \(\sqrt a + \sqrt b \) là \(\sqrt a - \sqrt b \)
3.\(\sqrt[3]{a} - b\) là \(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{a}.b + {b^2}\)
4. \(\sqrt[3]{a} + b\) là \(\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{a}.b + {b^2}\)
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} - 2{x^2}}}}\limits_{} \)
b) \(\mathop {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 1}}}\limits_{} \)
Giải:
\(\begin{array}{l}a)\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} - 2{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{4.8}}{4} = 8\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} - 2{x^2}}} = 8.\)
\(\begin{array}{l}b)\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3 - 3x}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\\ = \frac{{ - 3}}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3.1 + 1} } \right)}} = - \frac{3}{8}\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 1}} = - \frac{3}{8}.\)
* Dạng \(\frac{\infty }{\infty }\):
- Chia cả tử và mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu.
- Sau đó dùng các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương cùng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0\) với k nguyên dương.
Ví dụ:Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 16x + 2}}{{{x^4} - 2{x^2} + 4}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 1}}{{10 - 2{x^3}}}\)
Giải:
\(\begin{array}{l}a)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 16x + 2}}{{{x^4} - 2{x^2} + 4}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - \frac{{16}}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^4}}}}}{{1 - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{x^4}}}}}\\ = \frac{{3 - 0 + 0}}{{1 - 0 + 0}} = 3\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 16x + 2}}{{{x^4} - 2{x^2} + 4}} = 3\).
\(\begin{array}{l}b)\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 1}}{{10 - 2{x^3}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{1}{x} - \frac{5}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}}}{{\frac{{10}}{{{x^3}}} - 2}}\\ = \frac{{0 - 0 + 0}}{{0 - 2}} = 0\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 1}}{{10 - 2{x^3}}} = 0\)
* Dạng \(\infty - \infty \):
- Nếu \(x \to {x_0}\) thì ta quy đồng mẫu số để đưa về dạng \(\frac{0}{0}\).
- Nếu \(x \to \pm \infty \) thì ta nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng \(\frac{\infty }{\infty }\).
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} - 2x} \right)\)
Giải:
a) Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{1 + x + {x^2} - 3}}{{1 - {x^3}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{{x^2} + x - 2}}{{1 - {x^3}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - x - 2}}{{1 + x + {x^2}}} = - 1\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right) = - 1\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} - 2x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {4{x^2} + 3x + 1} \right) - 4{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} + 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} + 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 2}}\\ = \frac{3}{{2 + 2}} = \frac{3}{4}\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} - 2x} \right) = \frac{3}{4}\).
* Dạng 0.∞
- Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn, quy đồng mẫu số,...ta có thể đưa giới hạn đã cho về dạng quen thuộc.
Ví dụ: Tìm giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} - 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} \).
Giải: Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} - 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)}}} \\ = 3.0 = 0\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} - 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} = 0\).
2. Dạng 2: Tính tổng của CSN lùi vô hạn
- Sử dụng công thức: \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}},|q| < 1\)
Ví dụ: Tính tổng \(S = - 1 + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{{{10}^2}}} + ... + {\frac{{\left( { - 1} \right)}}{{{{10}^{n - 1}}}}^n} + ...\)
Giải:
Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với \({u_1} = - 1\) và q = \( - \frac{1}{{10}}\).
Vậy \(S = \frac{{ - 1}}{{1 - \left( { - \frac{1}{{10}}} \right)}} = - \frac{{10}}{{11}}\).
3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số
3.1 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
- Dạng I: Cho h/s \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{khi}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne {x_0}}&{}\end{array}\\{f_2}(x)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{khi\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0}}&{}\end{array}}\end{array}\end{array} \right.\)
Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0?
Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
B2: Tính f(x0); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\)
B3: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) = f(x0) \( \Rightarrow \) KL liên tục tại x0
- Dạng II: Cho h/s \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{khi}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge {x_0}}&{}\end{array}\\{f_2}(x)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{khi\begin{array}{*{20}{c}}{x < {x_0}}&{}\end{array}}\end{array}\end{array} \right.\)Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0?
3.2 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B3: Kết luận
3.3 Tìm điều kiện của tham số để hàm số liên tục tại x0
Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
B2: Tính f(x0); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\)
B3: Hàm số liên tục tại \({x_0}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\)
3.4 Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có nghiệm trên \(\left[ {a;b} \right]\):
B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) < 0
B2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên \(\left[ {a;b} \right]\)
B3: Kết luận về số nghiệm của PT trên \(\left[ {a;b} \right]\)
Ví dụ: CMR phương trình \({x^7} + 3{x^5} - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^7} + 3{x^5} - 2\) liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]
Và \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 0 \right) = - 2 < 0}\\{f\left( 1 \right) = 2 > 0}\end{array}} \right\} \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\)
Nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm \({x_0} \in \left( {0;1} \right)\).
Phần 2
ĐẠO HÀM
1. BẢNG ĐẠO HÀM
2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U = U(x), V=V(x)).
\({\left( {U \pm V} \right)^\prime } = U' \pm V'\)
\(\left( {{\rm{U}}{\rm{.V}}} \right){\rm{'}} = {\rm{U'}}{\rm{.V}} + {\rm{V'}}{\rm{.U}}\)
\((k.U)' = k.U'\)(k là hằng số)
\({\left( {\frac{{\rm{U}}}{{\rm{V}}}} \right)^\prime } = \frac{{{\rm{U'}}{\rm{.V}} - {\rm{V'}}{\rm{.U}}}}{{{{\rm{V}}^{\rm{2}}}}}\)
3. Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[u(x)] , \(g'\)x = \({f_u}'\).\({u_x}'\)
4. Đạo hàm cấp cao của hàm số
Đạo hàm cấp 2: \(f''(x) = \left[ {f'(x)} \right]'\)
Đạo hàm cấp n: \({f^{(n)}}(x) = \left[ {{f^{(n - 1)}}(x)} \right]'\)
5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
Lưu ý:
f’(\({x_0}\)) = hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) tại điểm M\(\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\)
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Dạng 1: Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao của các hàm số
Sử dụng các quy tắc và bảng đạo hàm để tính.
2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
* Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm M\(\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) (*)
* Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước:
Phương pháp:
B1: Tiếp tuyến d’ // d nên \({k_{d'}} = {k_d}\)
B2: Gọi x0là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= \({k_{d'}}\) (3)
B3: Giải (3) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).
B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước
Phương pháp:
B1: Tiếp tuyến d’ // d nên \({k_{d'}} = - \frac{1}{{{k_d}}}\)
B2: Gọi x0là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= \({k_{d'}}\) (4)
B3: Giải (4) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).
B4: Thay các kết quả vừa tìm vào phương trình dạng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập.
* Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
Phương pháp:
B1: Gọi d là tiếp tuyến cần viết và M\(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) là tiếp điểm. Khi đó d có phương trình dạng
\(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
B2: Cho d đi qua A ta được \({y_A}^{} - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {{x_A} - {x_0}} \right)\) (5)
B3: Giải (5) tìm \({x_0} \Rightarrow {y_0}?\).
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần viết.
Phần 3
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng \({90^0}\).
Phương pháp 2: \(a \bot b \Leftrightarrow \vec u.\vec v = 0\) (\(\vec u,{\rm{ }}\vec v\) lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
Phương pháp 3: Chứng minh \(a \bot (\alpha ) \supset b\) hoặc \(b \bot (\beta ) \supset a\)
Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( \(a \bot b \Leftrightarrow a \bot b'\) với b’ là hình chiếu của đường thẳng b lên mp chứa đường thẳng a).
* LƯU Ý: Trong các phương pháp trên thì phương pháp 3 là thông dụng nhất.
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
Phương pháp 1: Chứng minh: d \(\bot\) a và d \(\bot\) b với a \( \cap \) b = M; a,b \( \subset \) (P)
Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a \(\bot\) (P)
Phương pháp 3: Chứng minh: d \( \subset \) (Q) \(\bot\) (P), d \(\bot\) a = (P) \( \cap \) (Q).
Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) \( \cap \) (R) và (Q) \(\bot\)(P), (R) \(\bot\) (P).
Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
Phương pháp 1: Chứng minh (P) \( \supset \) a \(\bot\) (Q).
Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) \(\bot\) (Q).
Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a \(\bot\) (Q).
Dạng 4: Tính góc giữa 2 đường thẳng a và b.
Phương pháp:
- Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ \( \cap \) b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
Dạng 5: Tính góc giữa đường thẳng d và mp(P).
Phương pháp: Gọi góc giữa đường thẳng d và mp(P) là \(\varphi \)
+) Nếu d \(\bot\) (P) thì \(\varphi \) = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P):
- Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: \(\varphi \) = (d,d’)
Dạng 6: Tính góc \(\varphi \) giữa hai mp (P) và (Q).
Phương pháp 1:
Xác định a \(\bot\) (P), b \(\bot\) (Q).
Tính góc \(\varphi \)= (a,b)
Phương pháp 2: Nếu (P) \( \cap \) (Q) = d
Tìm (R) \(\bot\) d
Xác định a = (R) \( \cap \) (P)
Xác định b = (R) \( \cap \) (Q)
Tính góc \(\varphi \) = (a,b).
Dạng 7: Tính khoảng cách.
Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp:
\(d(M,a) = MH\) (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp:
- Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M,(P)) = AH
Tính khoảng giữa đt D và mp (P) song song với nó:
\(d\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right)\) (M là điểm thuộc D).
Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt ch\( \supset \)o nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a \(\bot\) b :
Dựng (P) \( \supset \) a và (P) \(\bot\) b
Xác định A = (P) \( \cap \) b
Dựng hình chiếu H của A lên b
AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
Dựng (P) \( \supset \) a và (P) // b.
Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ \( \cap \) a = H
Dựng đường thẳng vuông góc với (P) tại H cắt đường thẳng b tại A.
AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 3:
Dựng mp (P) \(\bot\) a tại I cắt b tại O
Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
Kẻ IK \(\bot\) b’ tại K.
Dựng đường thẳng vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
Kẻ đường thẳng đi qua H và song song với IK, cắt đường thẳng a tại A.
AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
