Đề bài
Câu 1. Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{{5^n} - {3^n}}}{{{5^n} - 4}}.\)
A. \( - 3\) B. \(0\) C. \(5\) D. \(1\)
Câu 2. Cho hai đường thẳng \(a,\,\,b\) phân biệt và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. Nếu \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) và \(b \bot \left( P \right)\) thì \(b \bot \left( Q \right)\)
B. Nếu \(a//\left( P \right)\) và \(b \bot a\) thì \(b \bot \left( P \right)\)
C. Nếu \(a//\left( P \right)\) và \(b \bot \left( P \right)\) thì \(b \bot a\)
D. Nếu \(a \bot \left( P \right),\,\,b \bot \left( P \right)\) thì \(a//b\)
Câu 3 . Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) và \(SA = a\). Tìm góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
A. \({60^0}\) B. \({90^0}\) C. \({30^0}\) D. \({45^0}\)
Câu 4 . Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0 ?
A. \(\lim \dfrac{{n + 3}}{{n + 2}}\)
B. \(\lim {\left( {\dfrac{{2019}}{{2020}}} \right)^n}\)
C. \(\lim {2^n}\)
D. \(\lim {n^4}\)
Câu 5 . Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) theo \(a\).
A. \(\dfrac{1}{2}{a^2}\) B. \({a^2}\) C. \( - {a^2}\) D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\)
Câu 6 . Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Khẳng định nào sau đây sai.
A. \(AB \bot OC\) B. \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) C. \(OH \bot BC\) D. \(OH \bot OA\)
Câu 7 . Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {1;5} \right)\)
B. Hàm số gián đoạn tại \(x = 2020\)
C. Hàm số liên tục tại \(x = 2\)
D. Hàm số gián đoạn tại \(x = 2\)
Câu 8. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng \(5\).
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} + 3x + 7} \right)\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 10} - x} \right)\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3x - 2} \right)\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left| {x - 3} \right|\)
Câu 9 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{3x + 2}}{{2 - x}} = 5\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{4x + 5}}{{x - 2}} = + \infty \)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 5} - x} \right) = 1\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3x + 2}}{{x - 1}} = + \infty \)
Câu 10 . Biết ba số \({x^2};\,\,8;\,\,x\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của \(x\) bằng
A. \(x = 4\) B. \(x = 5\) C. \(x = 2\) D. \(x = 1\)
Câu 11 . Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) . Chọn mệnh đề đúng?
A. \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {C'A'} \)
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} \)
C. \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)
D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow 0 \)
Câu 12. Giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) bằng:
A. \( - \dfrac{1}{2}\) B. \(\dfrac{1}{5}\) C. \(\dfrac{1}{3}\) D. \(\dfrac{1}{4}\)
Câu 13 . Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_2} = 8;\,\,{u_5} = 17\). Công sai \(d\) bằng:
A. \(d = - 3\) B. \(d = - 5\) C. \(d = 3\) D. \(d = 5\)
Câu 14 . Hàm số nào sau đây không liên tục tại \(x = 2\).
A. \(y = \sqrt {x + 2} \) B. \(y = \sin x\)
C. \(y = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 2}}\) D. \(y = {x^2} - 3x + 2\)
Câu 15 . Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 81\) và \({u_2} = 27\). Tìm công bội \(q\)?
A. \(q = - \dfrac{1}{3}\) B. \(q = \dfrac{1}{3}\) C. \(q = 3\) D. \(q = - 3\)
Câu 16 . Cho giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x - 2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng
A. \(I \in \left( {3;5} \right)\)
B. \(I \in \left( {2;3} \right)\)
C. \(I \in \left( {5;6} \right)\)
D. \(I \in \left( {1;2} \right)\)
Câu 17 . Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 19\) và \(d = - 2\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\).
A. \({u_n} = - 2{n^2} + 33\) B. \({u_n} = - 3n + 24\)
C. \({u_n} = - 2n + 21\) D. \({u_n} = 12 + 2n\)
Câu 18 . Giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2{x^3} + 4x + 5} \right)\) bằng
A. \(I = - \infty \) B. \(I = + \infty \)
C. \(I = - 2\) D. \(I = 5\)
Câu 19. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {3 + x} + \sqrt {4 - x} \) liên tục trên
A. \(\left( { - 3;10} \right)\) B. \(\left[ { - 3;4} \right]\)
C. \(\left[ { - 3; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - \infty ;4} \right]\)
Câu 20. Giới hạn \(J = \lim \dfrac{{2n + 3}}{{n + 1}}\) bằng:
A. \(3\) B. \(1\) C. \(2\) D. \(0\)
Câu 21. Tính giới hạn \(J = \lim \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{{n^3} + 2}}\).
A. \(J = 0\) B. \(J = 2\) C. \(J = 1\) D. \(J = 3\)
Câu 22. Cho tứ diện \(ABCD\) có trọng tâm \(G\). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(AB,\,\,CD\) là hai đường thẳng chéo nhau
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow {AG} \)
C. \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AD} \) đồng phẳng
D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
Câu 23. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân ?
A. \(1;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 1\). B. \(1;\,\, - 3;\,\,9;10\)
C. \(1;0;0;0\). D. \(32;\,\,16;\,\,8;\,\,4\)
Câu 24. Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt \(a,\,b,\,c.\)Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu \(a\)và \(b\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) mà \(\left( \alpha \right)//a\) thì \(a//b\).
B. Nếu góc giữa \(a\) và \(c\) bằng góc giữa \(b\) và \(c\) thì \(a//b\).
C. Nếu \(a\)và \(b\) cùng vuông góc với \(c\)thì \(a//b\).
D. Nếu \(a//b\) và \(c \bot a\) thì \(c \bot b\).
Câu 25. Tính giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 3x - 5} \right)\)
A. \(I = 3\) B. \(I = - 1\) C. \(I = + \infty \) D. \(I = - 5\)
Câu 26. Cho các hàm số \(y = {x^2};\) \(y = \sin x;\) \(y = \tan x;\) \(y = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\). Có bao nhiêu hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
A. \(4\) B. \(3\) C. \(1\) D. \(2\)
Câu 27. Chọn mệnh đề sai
A. \(\lim \dfrac{1}{{{2^n}}} = 0\)
B. \(\lim \dfrac{3}{{n + 1}} = 0\)
C. \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 3} - n} \right) = 1\)
D. \(\lim {\left( { - 2} \right)^n} = + \infty \)
Câu 28. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AB \bot BC\). Hình chóp \(S.ABC\) có bao nhiêu mặt là tam giác vuông?
A. \(4\) B. \(3\) C. \(2\) D. \(1\)
Câu 29. Chọn mệnh đề đúng
A. \(\lim \left( { - 2{n^2} + 3} \right) = + \infty \)
B. \(\lim \sqrt {{n^2} + n + 1} = - \infty \)
C. \(\lim \dfrac{{2n + 5}}{{2n + 3}} = 1\)
D. \(\lim {2^n} = 0\)
Câu 30. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(DA'\) bằng:
A. \({30^0}\) B. \({90^0}\) C. \({60^0}\) D. \({0^0}\)
Câu 31. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(a\) và \(SC \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(M\)là trung điểm của \(AB\) và \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(SM\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Biết \(SC = a\), tính \(\tan \alpha \)?
A. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\) B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(\dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}\) D. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Câu 32. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = AB\). Gọi \(E,\,F\)lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,SC\). Góc giữa \(EF\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) bằng:
A. \({45^0}\) B. \({30^0}\) C. \({60^0}\) D. \({90^0}\)
Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) để \(I < 12\) biết \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^4} - 2mx + {m^2} + 3} \right)\)
A. \(6\) B. \(5\) C. \(8\) D. \(7\)
Câu 34. Cho phương trình \({x^3} - 3{x^2} + 3 = 0\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Phương trình vô nghiệm
B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt
C. Phương trình có đúng hai nghiệm \(x = 1;\,\,x = 2\).
D. Phương trình có đúng một nghiệm
Câu 35. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC.\) Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phằng \(\left( {ABC} \right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(I\) là trực tậm của \(\Delta ABC\)
B. \(I\) là trung điểm của \(AB\)
C. \(I\)là tâm đường tròn ngoại tiếp của \(\Delta ABC\)
D. \(I\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Câu 37. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 11;\,\,\,{u_2} = 13\). Tính tổng \(S = \dfrac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_2}{u_3}}} + .... + \dfrac{1}{{{u_{99}}{u_{100}}}}\).
A. \(S = \dfrac{9}{{209}}\) B. \(S = \dfrac{{10}}{{211}}\)
C. \(S = \dfrac{{10}}{{209}}\) D. \(S = \dfrac{9}{{200}}\)
Câu 38. Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_2} = - 2\) và \({u_5} = 54\). Tính tổng \(1000\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
A. \({S_{1000}} = \dfrac{{{3^{1000}} - 1}}{2}\)
B. \({S_{1000}} = \dfrac{{1 - {3^{1000}}}}{4}\)
C. \({S_{1000}} = \dfrac{{1 - {3^{1000}}}}{6}\)
D. \({S_{1000}} = \dfrac{{{3^{1000}} - 1}}{6}\)
Câu 39. Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(DM\).
A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\) B. \(\dfrac{1}{2}\)
C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Câu 40. Hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 3}}{{\sqrt {x - 2} }}\) liên tục trên khoảng nào sau đây?
A. \(\left( {0;4} \right)\) B. \(\left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(\left( {0; + \infty } \right)\) D. \(\mathbb{R}\)
Câu 41. Số điểm gián đoạn của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x\,}}{{{x^3} + 3{x^2} - 2x - 2}}\)?
A. \(0\) B. \(2\) C. \(1\) D. \(3\)
Câu 42. Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = 6a\), \(BD = 8a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,\,BC\). Biết \(AC \bot BD\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\).
A. \(MN = a\sqrt {10} \) B. \(MN = 7a\)
C. \(MN = 5a\) D. \(MN = 10a\)
Câu 43. Cho giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3\) thì \(a\) bằng bao nhiêu.
A. \(a = 2\) B. \(a = 0\) C. \(a = - 2\) D. \(a = - 1\)
Câu 44. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 7\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {10 - 2f\left( x \right)} \right]\) bằng bao nhiêu.
A. \( - 4\) B. \(4\) C. \(10\) D. \( - 14\)
Câu 45. Gọi \(S\) là tập các giá trị của tham số thực \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne 1\\{m^2} + m - 8\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\). Tích các phần tử của tập \(S\) bằng
A. \( - 2\) B. \( - 8\) C. \( - 6\) D. \( - 1\)
Câu 46. Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Người ta dựng hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh bằng \(\dfrac{1}{2}\) đường chéo của hình vuông \(ABCD\); dựng hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có cạnh bằng \(\dfrac{1}{2}\) đường chéo của hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Nếu tổng diện tích của tất cả các hình vuông \(ABCD,{A_1}{B_1}{C_1}{D_1},{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}...\) bằng \(8\) thì \(a\) bằng:
A. \(2\) B. \(\sqrt 2 \) C. \(\sqrt 3 \) D. \(2\sqrt 2 \)
Câu 47. Cho \(a,\,\,b\) là các số nguyên và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20\). Tính \(P = {a^2} + {b^2} - a - b\).
A. \(400\) B. \(225\) C. \(325\) D. \(320\)
Câu 48. Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\), các cạnh còn lại bằng nhau và bằng \(4\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa cạnh \(AB\) và vuông góc với cạnh \(CD\) tại \(I.\) Diện tích tam giác \(IAB\) lớn nhất bằng:
A. \(12\) B. \(6\) C. \(8\sqrt 3 \) D. \(4\sqrt 3 \)
Câu 49. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 2}} = 12.\) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt {2f\left( x \right) - 16} - 4}}{{{x^2} + x - 6}}\) bằng
A. \(\dfrac{1}{5}\) B. \(\dfrac{3}{5}\) C. \(20\) D. \( - \dfrac{1}{{20}}\)
Câu 50. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {4x + 1} - 1}}{{a{x^2} + \left( {2a + 1} \right)x}}\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ne 0\\3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x = 0\end{array} \right.\). Biết \(a\) là giá trị để hàm số liên tục tại \({x_0} = 0,\) tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \({x^2} - x + 36a < 0\).
A. \(4\) B. \(3\) C. \(2\) D. \(0\)
Lời giải chi tiết
| 1. D | 2. B | 3. D | 4. B | 5. A |
| 6. D | 7. D | 8. A | 9. D | 10. A |
| 11. D | 12. A | 13. C | 14. C | 15. B |
| 16. A | 17. D | 18. A | 19. B | 20. C |
| 21. A | 22. C | 23. B | 24. D | 25. B |
| 26. B | 27. D | 28. A | 29. C | 30. C |
| 31. A | 32. A | 33. B | 34. B | 35. C |
| 36. D | 37. A | 38. C | 39. A | 40. B |
| 41. D | 42. C | 43. C | 44. A | 45. C |
| 46. A | 47. D | 48. B | 49. B | 50. A |
Câu 1 (TH) – Giới hạn của dãy số
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \({5^n}\).
Cách giải:
Ta có: \(\lim \dfrac{{{5^n} - {3^n}}}{{{5^n} - 4}} = \lim \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n}}}{{1 - 4.{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}} = \dfrac{1}{1} = 1\).
Chọn D.
Câu 2 (TH) – Ôn tập tổng hợp chương 2, 3 (Hình học 11)
Phương pháp:
Sử dụng tính chất mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Cách giải:
Xét 4 đáp án ta thấy đáp án B sai, vì nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a//\left( P \right)\\b \bot a\end{array} \right.\) thì \(a,\,\,b\) có thể cắt nhau, song song, ... cùng nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Chọn B.
Câu 3 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phăng đó.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân hoặc tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Cách giải:
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\).
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\).
Lại có \(SA = AC = a \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(A \Rightarrow \angle SCA = {45^0}\).
Vậy \(\angle \left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}\).
Chọn D.
Câu 4 (NB) – Giới hạn của dãy số
Phương pháp:
Tính giới hạn ở từng đáp án.
Cách giải:
- Xét đáp án A: \(\lim \dfrac{{n + 3}}{{n + 2}} = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{3}{n}}}{{1 + \dfrac{2}{n}}} = \dfrac{1}{1} = 1\).
- Xét đáp án B: \(\lim {\left( {\dfrac{{2019}}{{2020}}} \right)^n} = 0\) vì \(\dfrac{{2019}}{{2020}} < 1\).
- Xét đáp án C: \(\lim {2^n} = + \infty \).
- Xét đáp án D: \(\lim {n^4} = + \infty \).
Chọn B.
Câu 5 (TH) – Vectơ trong không gian
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\).
Cách giải:
Vì là tam giác đều nên \(\angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \angle BAC = {60^0}\).
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}{a^2}\).
Chọn A.
Câu 6 (VD) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
- Sử dụng các định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\), \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot a\).
Cách giải:
Kẻ \(CE \bot AB\,\,\left( {E \in AB} \right),\,\,AF \bot BC\,\,\left( {F \in BC} \right),\,\,CE \cap AF = H\).
Tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau, do đó:
\(OA \bot \left( {OBC} \right),\,\,OB \bot \left( {OAC} \right),\,\,OC \bot \left( {OAB} \right)\)
+ Ta có: \(OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot AB\). Do đó đáp án A đúng.
+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AF\\BC \bot OA\,\,\left( {do\,\,OA \bot \left( {OBC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAF} \right) \Rightarrow BC \bot OH\). Do đó đáp án C đúng.
+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CE\\AB \bot OC\,\,\left( {do\,\,OC \bot \left( {OAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {COE} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot BC\\OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\). Do đó đáp án B đúng.
+ Ta có: \(OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot OF \Rightarrow \Delta AOF\) vuông tại \(O\).
\( \Rightarrow OH\) không vuông góc với \(OA\). Do đó đáp án D sai.
Chọn D.
Câu 7 (NB) – Hàm số liên tục
Phương pháp:
Hàm phân thức liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
Cách giải:
Hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 2}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\) nên hàm số đã cho gián đoạn tại \(x = 2\).
Chọn D.
Câu 8 (NB) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
Tính các giới hạn từng đáp án.
Cách giải:
Xét đáp án A: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} + 3x + 7} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {4 - 6 + 7} \right) = 5\).
Chọn A.
Câu 9 (TH) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
Tính các giới hạn từng đáp án.
Cách giải:
Xét đáp án D: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3x + 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3 + \dfrac{2}{x}}}{{1 - \dfrac{1}{x}}} = 3\) nên đáp án D sai.
Chọn D.
Câu 10 (TH) – Cấp số nhân
Phương pháp:
Sử dụng tính chất cấp số cộng: Ba số \(x,\,\,y,\,\,z\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì \(xz = {y^2}\).
Cách giải:
Để 3 số \({x^2};\,\,8;\,\,x\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì \({x^2}.x = {8^2} \Leftrightarrow x = 4\).
Chọn A.
Câu 11 (NB) – Vectơ trong không gian
Phương pháp:
Vẽ hình, xác định các vectơ bằng nhau và sử dụng quy tắc cộng vectơ.
Cách giải:
Ta có: \(\overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \) nên đáp án D đúng.
Chọn D.
Câu 12 (TH) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn phân thức để khử dạng 0/0.
- Tính giới hạn.
Cách giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \dfrac{1}{2}\).
Chọn A.
Câu 13 (NB) – Cấp số cộng
Phương pháp:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\) là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) .
Cách giải:
Ta có: \({u_5} = {u_2} + 3d \Rightarrow 17 = 8 + 3d \Rightarrow d = 3\).
Chọn C.
Câu 14 (NB) – Hàm số liên tục
Phương pháp:
Hàm phân thức không liên tục tại điểm mà hàm số không xác định.
Cách giải:
Dễ thấy hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 2}}\) không xác định tại \(x = 2\) nên không liên tục tại \(x = 2\).
Chọn C.
Câu 15 (NB) – Cấp số nhân
Phương pháp:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\) là \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\) .
Cách giải:
Ta có: \({u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{27}}{{81}} = \dfrac{1}{3}\).
Chọn B.
Câu 16 (TH) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \({x^2}\).
Cách giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 4\).
Vậy \(I = 4 \in \left( {3;5} \right)\).
Chọn A.
Câu 17 (NB) – Cấp số cộng
Phương pháp:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\) là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) .
Cách giải:
Ta có: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 19 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 2} \right) = - 2n + 21\).
Chọn D.
Câu 18 (NB) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
Đặt \({x^3}\) ra ngoài, xét dấu từng giới hạn.
Cách giải:
Ta có: \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2{x^3} + 4x + 5} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( { - 2 + \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3} = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2 + \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right) = - 2 < 0\end{array}\)
Vậy \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2{x^3} + 4x + 5} \right) = - \infty \).
Chọn A.
Câu 19 (NB) – Hàm số liên tục
Phương pháp:
Hàm căn thức liên tục trên tập xác định của nó.
Cách giải:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}3 + x \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le x \le 4\).
\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho xác định trên \(D = \left[ { - 3;4} \right]\) nên hàm số cũng liên tục trên \(\left[ { - 3;4} \right]\).
Chọn B.
Câu 20 (NB) – Giới hạn của dãy số
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \(n\).
Cách giải:
Ta có: \(J = \lim \dfrac{{2n + 3}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = 2\).
Chọn C.
Câu 21 (TH) – Giới hạn của dãy số
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \({n^3}\).
Cách giải:
Ta có: \(J = \lim \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{{n^3} + 2}} = \lim \dfrac{{2{n^2} + n - 3}}{{{n^3} + 2}} = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{3}{{{n^3}}}}}{{1 + \dfrac{2}{{{n^3}}}}} = 0\).
Chọn A.
Câu 22 (NB) – Vectơ trong không gian
Phương pháp:
Sử dụng khái niệm tứ diện.
Cách giải:
Vì \(ABCD\) là tứ diện nên \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng.
Chọn C.
Câu 23 (NB) – Cấp số nhân
Phương pháp:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nếu \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Cách giải:
Xét đáp án A ta có: \(1; - 1;1; - 1\) là 1 cấp số nhân với \({u_1} = 1,\,\,q = - 1\).
Xét đáp án B có \(\dfrac{{ - 3}}{1} = \dfrac{9}{{ - 3}} \ne \dfrac{{10}}{9}\), do đó \(1; - 3;9;10\) không là cấp số nhân.
Xét đáp án C ta có: \(1;0;0;0\) là 1 cấp số nhân với \({u_1} = 1,\,\,q = 0\).
Xét đáp án D ta có: \(32;16;8;4\) là 1 cấp số nhân với \({u_1} = 32;\,\,q = \dfrac{1}{2}\).
Chọn B.
Câu 24 (TH) – Ôn tập tổng hợp chương 2, 3 (Hình học 11)
Phương pháp:
Sử dụng mối quan hệ giữa song song và vuông góc trong không gian.
Cách giải:
Đáp án A: \(a\) sẽ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong \(\left( \alpha \right)\) chứ chưa chắc song song với đường thẳng \(b\).
Đáp án B chỉ đúng trong mặt phẳng.
Đáp án C \(a\) và \(b\) có thể chéo nhau.
Đáp án D đúng.
Chọn D.
Câu 25 (TH) – Hàm số liên tục
Phương pháp:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Cách giải:
Vì \({x^2} + 3x - 5\) liên tục tại \(x = 1\) nên \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 3x - 5} \right) = 1 + 3 - 5 = - 1\).
Chọn B.
Câu 26 (TH) – Hàm số liên tục
Phương pháp:
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi chúng xác định trên \(\mathbb{R}\).
Cách giải:
Các hàm số có TXĐ là \(\mathbb{R}\) là \(y = {x^2};\,\,y = \sin x;\,\,y = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) nên có 3 hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Chọn B.
Câu 27 (TH) – Giới hạn của dãy số
Phương pháp:
Tính từng giới hạn ở từng đáp án.
Cách giải:
Đáp án A: \(\lim \dfrac{1}{{{2^n}}} = 0\) đúng.
Đáp án B: \(\lim \dfrac{3}{{n + 1}} = \lim \left( {\dfrac{{\dfrac{3}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}}} \right) = \dfrac{0}{1} = 0\) đúng.
Đáp án C: \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 3} - n} \right) = \lim \dfrac{{2n + 3}}{{\sqrt {{n^2} + 2n + 3} + n}}\) \( = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{n}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{{{n^2}}}} + 1}} = 1\) đúng.
Chọn D.
Câu 28 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\).
Cách giải:
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta SAB\\\Delta SAC\end{array} \right.\) là các tam giác vuông.
Ta có: \(AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).
Vậy hình chóp \(S.ABC\) có cả 4 mặt là tam giác vuông.
Chọn A.
Câu 29 (TH) – Giới hạn của dãy số
Phương pháp:
Tính từng giới hạn ở từng đáp án.
Cách giải:
Xét đáp án C: \(\lim \dfrac{{2n + 5}}{{2n + 3}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{5}{n}}}{{2 + \dfrac{3}{n}}} = \dfrac{2}{2} = 1\).
Chọn C.
Câu 30 (TH) – Hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp:
- Sử dụng định lí: Nếu \(b//c\) thì \(\angle \left( {a;b} \right) = \angle \left( {a;c} \right)\).
- Sử dụng định lí Pytago và tính chất tam giác đều.
Cách giải:
Ta có \(AC//A'C'\) nên \(\angle \left( {AC;DA'} \right) = \angle \left( {A'C';DA'} \right)\).
Giả sử \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(1\), áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta tính được \(A'D = A'C' = C'D = \sqrt 2 \Rightarrow \Delta A'C'D\) đều.
Vậy \(\angle \left( {AC;DA'} \right) = \angle \left( {A'C';DA'} \right) = \angle C'A'D = {60^0}\).
Chọn C.
Câu 31 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
- Sử dụng định lí: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó để xác định góc.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Cách giải:
Vì \(SC \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(CM\) là hình chiếu vuông góc của \(SM\) lên \(\left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \angle \left( {SM;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;CM} \right) = \angle SMC = \alpha \).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(MC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét tam giác vuông \(SMC\) ta có: \(\tan \angle SMC = \dfrac{{SC}}{{MC}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(\tan \alpha = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn D.
Câu 32 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
- Sử dụng định lí: Nếu \(a//b\) thì \(\angle \left( {a;\left( P \right)} \right) = \angle \left( {b;\left( P \right)} \right)\).
- Sử dụng định lí: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó để xác định góc.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc hoặc tính chất tam giác vuông cân.
Cách giải:
Vì \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(SBC\) nên \(EF//SB\), khi đó ta có \(\angle \left( {EF;\left( {SAD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;\left( {SAD} \right)} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)\), do đó \(SA\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {SAD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {SAD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;SA} \right) = \angle ASB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\\SA = AB\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại \(A \Rightarrow \angle ASB = {45^0}\).
Vậy \(\angle \left( {EF;\left( {SAD} \right)} \right) = {45^0}\).
Chọn A.
Câu 33 (TH) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
- Tính giới hạn bằng cách thay \(x = - 1\) .
- Giải bất phương trình bậc hai.
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}I = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^4} - 2mx + {m^2} + 3} \right)\\\,\,\,\, = 1 + 2m + {m^2} + 3 = {m^2} + 2m + 4\end{array}\)
Do đó
\(I < 12 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 2\).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).
Vậy có 5 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Câu 34 (TH) – Hàm số liên tục
Phương pháp:
Sử dụng định lí: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Cách giải:
Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3\), hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - 1\\f\left( 0 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 1\\f\left( 2 \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( {1;2} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = - 1\\f\left( 3 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( 2 \right).f\left( 3 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( {2;3} \right)\).
Do \(\left( { - 1;0} \right) \cap \left( {1;2} \right) \cap \left( {2;3} \right) = \emptyset \) nên ta sẽ có 3 nghiệm phân biệt và \({x^3} - 3{x^2} + 3 = 0\) là phương trình bậc ba nên sẽ có tối đa 3 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Chọn B.
Câu 35 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
- Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot a\).
- Chứng minh tam giác vuông bằng nhau.
Cách giải:
Vì \(SI \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SI \bot IA,\,\,SI \bot IB,\,\,SI \bot IC\) \( \Rightarrow \Delta SIA,\,\,\Delta SIB,\,\,\Delta SIC\) vuông tại \(I\).
Xét các tam giác vuông \(\Delta SIA,\,\,\Delta SIB,\,\,\Delta SIC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SI\,\,chung\\SA = SB = SC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {\Delta _v}SIA = {\Delta _v}SIB = {\Delta _v}SIC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow IA = IB = IC\) (các cạnh tương ứng).
Vậy \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
Chọn C.
Câu 36 (TH) – Cấp số nhân
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\) thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) là: \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Cách giải:
Ta có: \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + ... + \dfrac{1}{{{3^n}}}\) là tổng của 1 CSN lùi vô hạn với \({u_1} = \dfrac{1}{3};\,\,q = \dfrac{1}{3}\).
\( \Rightarrow \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + ... + \dfrac{1}{{{3^n}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{2}\).
Khi đó ta có: \(S = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(a.b = 5.2 = 10\).
Chọn D.
Câu 37 (VD) – Cấp số nhân
Phương pháp:
- Tìm công sai \(d\) của cấp số nhân.
- Tính số hạng tổng quát của \(S\) là \(\dfrac{1}{{{u_n}{u_{n + 1}}}}\), sau đó rút gọn và tính tổng \(S\).
Cách giải:
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng ta có: \(d = {u_2} - {u_1} = 13 - 11 = 2\).
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{u_n}{u_{n + 1}}}} = \dfrac{1}{{{u_n}\left( {{u_n} + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{{u_n} + 2}}{{{u_1}\left( {{u_n} + 2} \right)}} - \dfrac{{{u_n}}}{{{u_1}\left( {{u_n} + 2} \right)}}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{{{u_n}}} - \dfrac{1}{{{u_n} + 2}}} \right] = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{{u_n}}} - \dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \dfrac{1}{{{u_{99}}{u_{100}}}}\\S = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_3}}} + ... + \dfrac{1}{{{u_{99}}}} - \dfrac{1}{{{u_{100}}}}} \right)\\S = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_{100}}}}} \right)\\S = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_1} + 99d}}} \right)\\S = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{11}} - \dfrac{1}{{11 + 99.2}}} \right) = \dfrac{9}{{209}}\end{array}\)
Chọn A.
Câu 38 (TH) – Cấp số nhân
Phương pháp:
- Sử dụng công thức SHTQ của cấp số nhân lùi có số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\) là \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\), lập và giải hệ phương trình tìm \({u_1},\,\,q\).
- Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên cấp số nhân lùi có số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\) là: \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Cách giải:
Gọi số hạng đầu là \({u_1}\) và công bội của cấp số nhân là \(q\).
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = - 2\\{u_5} = 54\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = - 2\\{u_1}{q^4} = 54\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {q^3} = - 27 \Leftrightarrow q = - 3\).
Suy ra \({u_1} = \dfrac{2}{3}\).
Ta có: \({S_{1000}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{1000}}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{\dfrac{2}{3}\left( {1 - {3^{1000}}} \right)}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = \dfrac{{1 - {3^{1000}}}}{6}\).
Chọn C.
Câu 39 (VD) – Hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp:
- Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(MN//AB \Rightarrow \angle \left( {AB;DM} \right) = \left( {MN;DM} \right)\).
- Sử dụng định lí Cosin trong tam giác để tính góc.
Cách giải:
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(\Delta ABC\).
\( \Rightarrow MN//AB \Rightarrow \angle \left( {AB;DM} \right) = \angle \left( {MN;DM} \right)\).
Ta có: \(MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\), \(DM,\,\,DN\) là các đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh \(a\) nên \(DM = DN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(DMN\) ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \angle DMN = \dfrac{{D{M^2} + M{N^2} - D{N^2}}}{{2DM.MN}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\end{array}\)
Vậy \(\cos \angle \left( {AB;DM} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Chọn A.
Câu 40 (TH) – Hàm số liên tục
Phương pháp:
Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng.
Cách giải:
ĐKXĐ của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 3}}{{\sqrt {x - 2} }}\) là \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\).
Vậy hàm số đã cho liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Chọn B.
Câu 41 (TH) – Hàm số liên tục
Phương pháp:
Xác định số điểm mà hàm số không xác định.
Cách giải:
ĐKXĐ của hàm số đã cho là:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + 3{x^2} - 2x - 2 \ne 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 2} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\{x^2} + 4x + 2 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 2 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại 3 điểm \(x = 1,\,\,x = - 2 \pm \sqrt 2 \).
Chọn D.
Câu 42 (VD) – Hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp:
- Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(\Delta MNP\) vuông tại \(P\).
- Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để tính độ dài các cạnh của \(\Delta MNP\).
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính độ dài \(MN\).
Cách giải:
Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\). Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}PM//BD,\,\,PM = \dfrac{1}{2}BD = 4a\\PN//AC,\,\,PN = \dfrac{1}{2}AC = 3a\end{array} \right.\)
Lại có \(AC \bot BD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow PM \bot PN \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại \(P\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(MNP\) ta có: \(MN = \sqrt {P{M^2} + P{N^2}} = \sqrt {16{a^2} + 9{a^2}} = 5a\).
Vậy \(MN = 5a\).
Chọn C.
Câu 43 (TH) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
- Thay \(x = - 2\) để tính giới hạn.
- Giải phương trình bậc hai tìm \(a\).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} - 2a.\left( { - 2} \right) + 3 + {a^2} = 3\\ \Leftrightarrow {a^2} + 4a + 7 = 3\\ \Leftrightarrow {a^2} + 4a + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a = - 2\end{array}\)
Chọn C.
Câu 44 (TH) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
Sử dụng các công thức tính giới hạn:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)\end{array}\)
Cách giải:
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {10 - 2f\left( x \right)} \right] = 10 - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 10 - 2.7 = - 4\).
Chọn A.
Câu 45 (VD) – Hàm số liên tục
Phương pháp:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - 3x} \right) = - 2\\f\left( 1 \right) = {m^2} + m - 8\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)
\( \Rightarrow {m^2} + m - 8 = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow S = \left\{ { - 3;2} \right\}\).
Vậy tích các phần tử của \(S\) là \( - 3.2 = - 6\).
Chọn C.
Câu 46 (VD) – Cấp số nhân
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\) thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) là: \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Cách giải:
- Di
ện tích của hình vuông \(ABCD\) là \({S_1} = {a^2}\).
- Diện tích của hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là \({S_2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\).
- Tương tự diện tích \({S_3},\,\,{S_4}\)... lần lượt là \(\dfrac{{{a^2}}}{4},\,\,\dfrac{{{a^2}}}{8}\) ...
Các diện tích này lập thành một CSN lùi vô hạn có \({u_1} = {a^2}\) , công bội \(q = \dfrac{1}{2}\).
Khi đó tổng diện tích tất cả các hình vuông \(ABCD,\,\,{A_1}{B_1}{C_1}{D_1},\,\,{A_2}{B_2}{C_2}{D_2},...\) bằng 8 nên ta có:
\(S = \dfrac{{{a^2}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 8 \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Leftrightarrow a = 2\,\,\,\left( {do\,\,a > 0} \right)\)
Vậy \(a = 2\).
Chọn A.
Câu 47 (VD) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
- Chia tử cho mẫu.
- Sử dụng công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)\), lập hệ phương trình và giải hệ tìm \(a,\,\,b\).\
- Thay giá trị \(a,\,\,b\) tìm được để tính giá trị biểu thức \(P\).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a\left( {{x^2} - 1} \right) + b\left( {x - 1} \right) + a + b - 5}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {a\left( {x + 1} \right) + b + \dfrac{{a + b - 5}}{{x - 1}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {a\left( {x + 1} \right) + b} \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + b - 5}}{{x - 1}}\\ = 2a + b + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + b - 5}}{{x - 1}}\end{array}\)
Theo bài ra ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 20\\a + b - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 15\\b = - 10\end{array} \right.\).
Vậy \(P = {a^2} + {b^2} - a - b = {15^2} + {\left( { - 10} \right)^2} - 15 - \left( { - 10} \right) = 320\).
Chọn D.
Câu 48 (VDC) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
- Xác định mặt phẳng \(\left( P \right)\).
- Chứng minh \(\Delta IAB\) cân tại \(I\), gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IH \bot AB\).
- Tính diện tích \({S_{\Delta IAB}} = \dfrac{1}{2}IH.AB\), sử dụng BĐT: \(ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\).
Cách giải:
Ta có các tam giác \(ACD\) và \(BCD\) là các tam giác đều vì các cạnh đều bằng 4.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot CD\\BI \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABI} \right)\). Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là \(\left( {ABI} \right)\).
Mặt khác ta có: \(AI,\,\,BI\) là các đường cao trong tam giác đều cạnh 4 nên \(AI = BI = 4.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow \Delta IAB\) cân tại \(I\).
Gọi gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IH \bot AB\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BHI\) ta có:
\(IH = \sqrt {I{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \)
Ta có: \({S_{\Delta IAB}} = \dfrac{1}{2}IH.AB = \dfrac{1}{2}\sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} .x = \dfrac{x}{2}\sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \)
Ta có: \(\dfrac{x}{2}\sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \le \dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{4} + 12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}}{2} = 6\) , do đó \({S_{\Delta IAB}} \le 6\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 6 \).
Vậy diện tích tam giác \(IAB\) lớn nhất bằng \(6\) khi \(AB = x = 2\sqrt 6 \).
Chọn B.
Câu 49 (VDC) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).
- Sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
- Tách giới hạn cần tính thành tích hai giới hạn, trong đó một giới hạn đề bài cho.
Cách giải:
Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 2}}\) ta có: \(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)g\left( x \right) + 16\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x - 2} \right)g\left( x \right) + 16} \right] = 16\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt {2f\left( x \right) - 16} - 4}}{{{x^2} + x - 6}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2f\left( x \right) - 16 - 16}}{{\left( {{x^2} + x - 6} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16} + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2f\left( x \right) - 32}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16} + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 2}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16} + 4} \right)}}\\ = 12.\dfrac{2}{{5.\left( {\sqrt {2.16 - 16} + 4} \right)}} = \dfrac{3}{5}\end{array}\)
Chọn B.
Câu 50 (VDC) – Giới hạn của hàm số
Phương pháp:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {4x + 1} - 1}}{{a{x^2} + \left( {2a + 1} \right)x}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4x}}{{x\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{4}{{\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{2a + 1}}\\f\left( 0 \right) = 3\end{array}\)
+ Nếu \(a = - \dfrac{1}{2}\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\), do đó hàm số không liên tục tại \(x = 0\).
+ Nếu \(a \ne - \dfrac{1}{2}\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{2}{{2a + 1}} = 3 \Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{6}\).
Khi đó ta có: \({x^2} - x + 36a < 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 3\).
Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).
Vậy bất phương trình \({x^2} - x + 36a < 0\) có 4 nghiệm nguyên.
Chọn A.
