Đề bài
Cho hai mặt phẳng (α)(α), (β)(β) cắt nhau và một điểm MM không thuộc (α)(α) và không thuộc (β)(β). Chứng minh rằng qua điểm MM có một và chỉ một mặt phẳng (P)(P) vuông góc với (α)(α) và (β)(β). Nếu (α)(α) song song với (β)(β) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kết quả của định lí: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Lời giải chi tiết
Gọi aa là giao tuyến của hai mặt phẳng (α)(α) và (β)(β).
Ta có: {(P)⊥(α)(P)⊥(β)(α)∩(β)=a⇒a⊥(P)
Do đó mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với đường thẳng a, do đó mặt phẳng (P) là duy nhất.
Nếu (α)//(β) gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (α) khi đó ta có d⊥(β).
Như vậy mọi mặt phẳng chứa d đều vuông góc với (α) và (β).
Do đó khi (α)//(β) thì có vô số mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với (α) và (β).
