Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).
a) Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(BD'\) và \(B'C\).
b)Tính khoảng cách của hai đường thẳng \(BD'\) và \(B'C\)
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
a) \(AB ⊥ (BCC’B’) ⇒ AB ⊥ B’C\)
\(BCC’B’\) là hình vuông có \(BC’ ⊥ B’C\)
\(⇒ B’C ⊥ (ABC’D’)\)
Trong mặt phẳng \((ABC’D’)\), kẻ \(IK ⊥ BD’\).
Vì \(B’C ⊥ (ABC’D’) ⇒ B’C ⊥ IK\)
Kết hợp với \(IK ⊥ BD’ \) \( ⇒ IK\) là đường vuông góc chung của \(B’C\) và \(BD’\)
b) Ta có: \(d\left( {B'C,BD'} \right) = IK\)
\(C'B = \sqrt {C{B^2} + B'{B^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
\(D'B = \sqrt {C'{B^2} + C'D{'^2}} \) \( = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)
Xét \(∆BIK\) và \(∆BD’C’\) có:
B chung
\(\widehat {BC'D'} = \widehat {BKI} = {90^0}\)
Suy ra \(∆BIK \backsim ∆BD’C’\) (g-g)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {{IK} \over {D'C'}} = {{BI} \over {B{\rm{D}}'}} \cr
& \Rightarrow IK = {{BI.D'C'} \over {B{\rm{D}}'}} \cr} \).
Mà \(BI = \dfrac{1}{2}BC' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) nên:
\(IK = \dfrac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Vậy \(d\left( {B'C,BD'} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \)
loigiaihay.com
