Đề bài
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC′ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC,CB,BC′,C′A, Chứng minh rắng:
a) AB⊥CC′;
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh →AB.→CC′=0.
b) Dựa vào tính chất của đường trung bình của tam giác, chứng minh MNPQ là hình bình hành, từ đó chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
a) →AB.→CC′=→AB.(→AC′−→AC)
=→AB.→AC′−→AB.→AC
=AB.AC′.cos^BAC′−AB.AC.cos^BAC
=a.a.12−a.a.12=0
⇒AB⊥CC′.
b) Theo giả thiết Q,P là trung điểm của AC′,BC′ do đó QP là đường trung bình của tam giác ABC′
Suy ra: QP//AB,QP=12AB (1)
Chứng minh tương tự ta có:
PN//CC′,PN=12CC′
MN//AB,MN=12AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MN//QP,MN=QP. Do đó MNPQ là hình bình hành.
Ta có: MN//AB, PN//CC′ mà AB⊥CC′ do đó MN⊥NP
Hình bình hành MNPQ có một góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật.
