Video hướng dẫn giải
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt \(b\) chấm. Xét phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho:
LG a
Phương trình có nghiệm
Phương pháp giải:
Phương trình bậc hai có nghiệm \(\left( {\Delta \ge 0} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Không gian mẫu là \(Ω = \left\{{1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\), \(n(Ω )=6\)
Ta có bảng:
| b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ∆ = b2 - 8 | -7 | -4 | 1 | 8 | 17 | 28 |
Phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(∆ = b^2 - 8 ≥ 0\) (*).
Vì vậy nếu \(A\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm"
thì \(A =\left\{{3, 4, 5, 6}\right\}, n(A) = 4\) và \(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).
Cách khác:
Phương trình (1) có nghiệm
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}\Delta \ge 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}b{\rm{ }} \ge {\rm{ }}2\surd 2}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}b \in \left\{ {3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6} \right\}.}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}A = \left\{ {3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6} \right\}}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}n\left( A \right) = {\rm{ }}4}
\end{array}\)
\(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).
LG b
Phương trình vô nghiệm.
Phương pháp giải:
Phương trình bậc hai vô nghiệm \(\left( {\Delta < 0} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Biến cố \(B\): "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) vô nghiệm"
Dễ thấy A và B là các biến cố đối
Theo qui tắc cộng xác suất ta có \(P(B) = 1 - P(A)\) = \(\frac{1}{3}\).
Cách khác:
(1) vô nghiệm
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}\Delta {\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}b{\rm{ }} \le {\rm{ }}2\surd 2}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}b{\rm{ }} \in {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2} \right\}}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}B{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1,{\rm{ }}2} \right\}}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}n\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}2}
\end{array}\)
\(P(B)\) \(=\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
LG c
Phương trình có nghiệm nguyên.
Phương pháp giải:
Điều kiện cần để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên là \(\Delta \) là số chính phương.
Lời giải chi tiết:
\(C\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm nguyên"
Phương trình (1) có nghiệm
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}b{\rm{ }} \in {\rm{ }}\left\{ {3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6} \right\}.\)
Thử các giá trị của b ta thấy:
Khi \(b=3\) thì phương trình trở thành \({x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
Do đó \(C = \left\{{3}\right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 1\).
Vậy \(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{6}.\)
