Đề bài
Cho hình bình hành ABCD. Qua A,B,C,D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax,By,Cz,Dt ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (β) lần lượt cắt Ax,By,Cz và Dt tại A′,B′,C′ và D′.
a) Chứng minh mặt phẳng (Ax,By) song song với mặt phẳng (Cz,Dt)
b) Gọi I=AC∩BD,J=A′C′∩B′D′. Chứng minh IJ song song với AA′
c) Cho AA′=a,BB′=b,CC′=c. Hãy tính DD′.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b và a,b cùng song song với mặt phẳng (β) thì hai mặt phẳng đó song song.
b) Dựa vào định lí: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau để chứng minh tứ giác A′B′C′D′ là hình bình hành, từ đó suy ra J là trung điểm của A′C′.
Dựa vào tính chất đường trung bình của hình thang suy ra IJ//AA′.
Lời giải chi tiết
a) Ax//Dt (giả thiết) ⇒Ax//(Cz,Dt) (1)
AB//CD (vì ABCD là hình bình hành).
Mà CD⊂(Cz,Dt) ⇒AB//(Cz,Dt) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (Ax,AB)//(Cz,Dt) hay (Ax,By)//(Cz,Dt)
b) Ta có (Ax,By)//(Cz,Dt).
Mặt phẳng (A′B′C′D′) lần lượt cắt hai mặt phẳng (Ax,By) và (Cz,Dt) theo giao tuyến A′B′ và C′D′ ⇒A′B′//C′D′.
Tương tự ta chứng minh được: A′D′//B′C′
Do đó A′B′C′D′ là hình bình hành.
J=A′C′∩B′D′ nên J là trung điểm của A′C′.
A′C′CA là hình thàng vì AA′//CC′. Mà I là trung điểm AC nên IJ là đường trung bình hình thang A′C′CA.
Vậy IJ//AA′.
c) Chứng minh tương tự ta có IJ là đường trung bình của hình thang BDD′B′.
Theo tính chất của đường trung bình hình thang ta có:
{IJ=12(AA′+CC′)IJ=12(BB′+DD′) ⇒{AA′+CC′=2IJBB′+DD′=2IJ
Do đó : AA′+CC′=BB′+DD′ ⇒DD′=AA′+CC′−BB′
⇒DD′=a+c−b.
