Video hướng dẫn giải
Chứng minh rằng:
LG a
\(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\)
Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Phân tích \({11^{10}} = {\left( {1 + 10} \right)^{10}}\).
Lời giải chi tiết:
\({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 \)
\(\begin{array}{l}
= (C_{10}^0{1^{10}}{.10^0} + C_{10}^1{.1^9}{.10^1} + ...\\
+ ... + C_{10}^9{.1^1}{.10^9} + C_{10}^{10}{1^0}{.10^{10}}) - 1
\end{array}\)
\(= (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\) \(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1\)
\(=10.10+ C^2_{10}{10^2} + \ldots + C^9_{10}{10^9} +{10^{10}}\)
\( = 100\left( {1 + C_{10}^2 + C_{10}^3.10 + ... + {{10}^8}} \right)\)
Tổng sau cùng chia hết cho \(100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\).
LG b
\(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\)
Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Phân tích \({101^{100}} = {\left( {1 + 100} \right)^{100}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có
\({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\)
\(\begin{array}{l}
= (C_{100}^0{.1^{100}}{.100^0} + C_{100}^1{.1^{99}}{.100^1} + ...\\
+ ... + C_{100}^{99}{.1^1}{.100^{99}} + C_{100}^{100}{.100^{100}}) - 1
\end{array}\)
\(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... \) \(+C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\)
\( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\)
\( = {100^2}\left( {1 + C_{100}^2 + C_{100}^3.100 + ... + {{100}^{98}}} \right)\)
Tổng sau cùng chia hết cho \(100^2=10 000\) nên \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\).
LG c
\(\sqrt{10}[{(1 + \sqrt{10})}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên
Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Khai triển \({\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{100}}\) và \({\left( {1 - \sqrt {10} } \right)^{100}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({(1 + \sqrt {10} )^{100}} = C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} + ... \)
\(+ C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + C_{100}^{100}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)
\({(1 - \sqrt {10} )^{100}} = C_{100}^0 - C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... \)
\(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + C_{100}^{100} {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{100}} - {\left( {1 - \sqrt {10} } \right)^{100}} = \left[ {C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt {10} + ... + C_{100}^k{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^k} + ... + C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}} + C_{100}^{100}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\\
- \left[ {C_{100}^0 - C_{100}^1\sqrt {10} + ... + C_{100}^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^k} + ... - C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}} + C_{100}^{100}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\\
= 2.\left[ {C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ... + C_{100}^k{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^k} + ... + C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]
\end{array}\)
Đặt \(k = 2n + 1\)
\(\begin{array}{l}
= 2\sqrt {10} .\left( {C_{100}^1 + C_{100}^3.10 + ... + C_{100}^{2n + 1}{{.10}^n} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{49}}} \right)\\
= 2\sqrt {10} .A\\
\Rightarrow \sqrt {10} .\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right] = \sqrt {10} .2\sqrt {10} .A = 20A
\end{array}\)
Vậy \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.
