Bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

167 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng:

LG a

$11^{10} – 1$ chia hết cho $100$

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích ${11^{10}} = {\left( {1 + 10} \right)^{10}}$ .

Lời giải chi tiết:

${11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1$

$\begin{array}{l} = (C_{10}^0{1^{10}}{.10^0} + C_{10}^1{.1^9}{.10^1} + ...\\ + ... + C_{10}^9{.1^1}{.10^9} + C_{10}^{10}{1^0}{.10^{10}}) - 1 \end{array}$

$= (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}$ $+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1$

$=10.10+ C^2_{10}{10^2} + \ldots + C^9_{10}{10^9} +{10^{10}}$

$= 100\left( {1 + C_{10}^2 + C_{10}^3.10 + ... + {{10}^8}} \right)$

Tổng sau cùng chia hết cho $100$ suy ra $11^{10} – 1$ chia hết cho $100$ .

LG b

$101^{100}– 1$ chia hết cho $10 000$

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích ${101^{100}} = {\left( {1 + 100} \right)^{100}}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có

${101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1$

$\begin{array}{l} = (C_{100}^0{.1^{100}}{.100^0} + C_{100}^1{.1^{99}}{.100^1} + ...\\ + ... + C_{100}^{99}{.1^1}{.100^{99}} + C_{100}^{100}{.100^{100}}) - 1 \end{array}$

$= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ...$ $+C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1$

$= {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}$

$= {100^2}\left( {1 + C_{100}^2 + C_{100}^3.100 + ... + {{100}^{98}}} \right)$

Tổng sau cùng chia hết cho $100^2=10 000$ nên $101^{100}– 1$ chia hết cho $10 000$ .

LG c

$\sqrt{10}[{(1 + \sqrt{10})}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]$ là một số nguyên

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Khai triển ${\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{100}}$ và ${\left( {1 - \sqrt {10} } \right)^{100}}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:

${(1 + \sqrt {10} )^{100}} = C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} + ...$

$+ C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + C_{100}^{100}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}$

${(1 - \sqrt {10} )^{100}} = C_{100}^0 - C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ...$

$- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + C_{100}^{100} {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{100}} - {\left( {1 - \sqrt {10} } \right)^{100}} = \left[ {C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt {10} + ... + C_{100}^k{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^k} + ... + C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}} + C_{100}^{100}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\\ - \left[ {C_{100}^0 - C_{100}^1\sqrt {10} + ... + C_{100}^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^k} + ... - C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}} + C_{100}^{100}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\\ = 2.\left[ {C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ... + C_{100}^k{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^k} + ... + C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right] \end{array}$

Đặt $k = 2n + 1$

$\begin{array}{l} = 2\sqrt {10} .\left( {C_{100}^1 + C_{100}^3.10 + ... + C_{100}^{2n + 1}{{.10}^n} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{49}}} \right)\\ = 2\sqrt {10} .A\\ \Rightarrow \sqrt {10} .\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right] = \sqrt {10} .2\sqrt {10} .A = 20A \end{array}$

Vậy $\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]$ là một số nguyên.

SGK Toán lớp 11