Đề bài
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Với những giá trị nào của \(x\) thì giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau \(y = \tan 3x\) và \(\tan (\dfrac{\pi }{3} - 2x)\)
A. \(x = \dfrac{\pi }{{15}} + k\dfrac{\pi }{5},\,k \in \mathbb{Z}\)
B. \(x = \dfrac{\pi }{{15}} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\)
C. \(x = \dfrac{\pi }{{15}} + k\dfrac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}\)
D. \(x = \dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{5},\,k \in \mathbb{Z}\)
Câu 2: Tìm m để phương trình \(\dfrac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}} = m\) có nghiệm.
A. \( - 3 \le m \le 2\) B. \(m > 2\)
C. \(m \ge - 3\) D. \(\dfrac{2}{{11}} \le m \le 2\)
Câu 3: Nghiệm của phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) là:
A. \(x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\;x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
B. \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi ,\;x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
C. \(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\;x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
D. \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi ,\;x = - \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Câu 4 : Chọn mệnh đề đúng:
A. Hàm số \(y = \sin x\) có chu kỳ \(T = \pi \)
B. Hàm số \(y = \cos x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
C. Hàm số \(y = \cot x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
D. Hàm số \(y = \cot x\) có chu kỳ \(T = 2\pi \)
Câu 5: Nghiệm dương bé nhất của phương trình \(2{\sin ^2}x + 5\sin x - 3 = 0\) là:
A. \(x = \dfrac{\pi }{3}.\) B. \(x = \dfrac{\pi }{{12}}.\)
C. \(x = \dfrac{\pi }{6}.\) D. \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}.\)
Câu 6: Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?
A. \(y = \sin x\) B. \(y = \cos x\)
C. \(y = \sin 2x\) D. \(y = \cot x\)
Câu 7: Tập xác định của hàm số\(y = f(x) = 2\cot (2x - \dfrac{\pi }{3}) + 1\) là:
A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu 8: Nghiệm của phương trình \(\tan (x - \dfrac{\pi }{2}) = \sqrt 3 \) là:
A. \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi \).
B. \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \).
C. \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \).
D. \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \).
Câu 9: Tập nghiệm của phương trình \(\cos 3x = - 1\) là:
A. \(\left\{ { - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
B. \(\left\{ {\pi + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
C. \(\left\{ {\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
D. \(\left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Câu 10: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn.
A. \(y = \sin \left| {2016x} \right| + c{\rm{os}}2017x\).
B. \(y = 2016\cos x + 2017\sin x\).
C. \(y = \cot 2015x - 2016\sin x\).
D. \(y = \tan 2016x + \cot 2017x\).
Câu 11: Nghiệm của phương trình \(\sin 2x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) là:
A.\(\,x = \dfrac{\pi }{8} + k2\pi ;x = \dfrac{{3\pi }}{8} + k2\pi (k \in Z)\)
B. \(\,x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,(k \in Z)\)
C. \(\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi (k \in Z)\)
D. \(\,x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi ;x = \dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi ;k \in Z)\)
Câu 12: Giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 3\sin x + 1\) là.
A. m = 4 B. m = -2
C. m = 3 D. m = 1
Câu 13: Tập xác định của hàm số \(y = f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - sinx} }}\)
A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
D. \(\phi \)
Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x - 4\sin x - 5\) là:
A. -9 B. 0
C. 9 D. -8
Câu 15: Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận trục tung làm trục đối xứng?
A. \(y = \sin x - \cos x\).
B. \(y = 2\sin x\).
C. \(y = 2\sin \left( { - x} \right)\).
D. \(y = - 2\cos x\)
Câu 16: Nghiệm của phương trình \(2{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\) là:
A. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \); \(x = \arctan ( - \dfrac{3}{2}) + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
B. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \);\(x = \arctan ( - 3) + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
D. \(x = \arctan ( - \dfrac{3}{2}) + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Câu 17: Phương trình lượng giác nào dưới đây có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
A. \(\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
B. \(\cot x = \sqrt 3 .\)
C. \(\tan x = \sqrt 3 .\)
D. \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = - \dfrac{1}{2}\)
Câu 18: Giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \sin x + \cos x\) là.
A. \(M = 2\)
B. \(M = 2\sqrt 2 \)
C. \(M = 1\)
D. \(M = \sqrt 2 \)
Câu 19: Nghiệm của phương trình \(\sin x = \cos x\) là:
A. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).
B. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
C. \(x = \dfrac{\pi }{4}\).
D. \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).
Câu 20: Đồ thì hình bên là đồ thị của hàm số nào?
A. \(y = \sin x\) B. \(y = \cot x\)
C. \(y = \tan x\) D. \(y = \cos x\)
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 21: Giải các phương trình sau
a) \(\sin 3x - \cos 2x = 0\)
b) \(\dfrac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{{\sin x - \cos \dfrac{\pi }{4}}} = 0\)
Câu 22: Giải phương trình : \(2{\cos ^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - 2x} \right) + \sqrt 3 \cos 4x = 4{\cos ^2}x - 1\)
Lời giải chi tiết
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
| 1A | 2D | 3A | 4C | 5C |
| 6D | 7B | 8A | 9C | 10A |
| 11D | 12B | 13C | 14D | 15D |
| 16A | 17B | 18D | 19B | 20D |
Câu 1:
Ta có: \(\tan 3x = \tan (\dfrac{\pi }{3} - 2x) \)\(\Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{3} - 2x + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 5x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{15}} + k\dfrac{\pi }{5}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án A.
Câu 2:
Ta có: \(\dfrac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}} = m \)
\(\Leftrightarrow \cos x + 2\sin x + 3 = m\left( {2\cos x - \sin x + 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right)\cos x - \left( {m + 2} \right)\sin x = 3 - 4m\)
Điều kiện có nghiệm: \({\left( {2m - 1} \right)^2} + {\left( {m + 2} \right)^2} \ge {\left( {3 - 4m} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 + {m^2} + 4m + 4\)\( \ge 9 - 24m + 16{m^2}\)
\( \Leftrightarrow 11{m^2} - 24m + 4 \le 0 \)\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{{11}} \le m \le 2.\)
Chọn đáp án D.
Câu 3:
Ta có:\(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4} \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án A.
Câu 4:
+ Hàm số \(y = \sin x,\,y = \cos x\) có chu kỳ là \(T = 2\pi \)
+ Hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\) có chu kì là \(T = \pi \)
Chọn đáp án C.
Câu 5:
Ta có: \(2{\sin ^2}x + 5\sin x - 3 = 0 \)\(\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Nghiệm dương bé nhất của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{6}.\)
Chọn đáp án C.
Câu 6:
Hàm số \(y = \cot x\) có đồ thị không là đường hình sin.
Chọn đáp án D.
Câu 7:
\(y = f(x) = 2\cot (2x - \dfrac{\pi }{3}) + 1 \)\(= \dfrac{{2\cos (2x - \dfrac{\pi }{3})}}{{\sin (2x - \dfrac{\pi }{3})}} + 1\)
ĐKXĐ: \(\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án B.
Câu 8:
Ta có: \(\tan (x - \dfrac{\pi }{2}) = \sqrt 3 \)
\(\Leftrightarrow \tan (x - \dfrac{\pi }{2}) = \tan \dfrac{\pi }{3}\)
\( \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án A.
Câu 9:
Ta có: \(\cos 3x = - 1 \Leftrightarrow 3x = \pi + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án C.
Câu 10:
Đáp án A: TXĐ: D=R.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y\left( { - x} \right) = \sin \left| { - 2016x} \right| + \cos \left( { - 2017x} \right)\\
= \sin 2016x + \cos 2017x = y\left( x \right)
\end{array}\)
Hàm số \(y = \sin \left| {2016x} \right| + c{\rm{os}}2017x\) là hàm số chẵn.
Chọn đáp án A.
Câu 11:
Ta có: \(\sin 2x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \dfrac{\pi }{4}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án D.
Câu 12:
Ta có: \(\sin x \in \left[ { - 1;1} \right] \)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - 1 \le \sin x \le 1\\
\Rightarrow - 3 \le 3\sin x \le 3\\
\Rightarrow - 2 \le 3\sin x + 1 \le 4
\end{array}\)
Chọn đáp án B.
Câu 13:
Ta có: \(\sin x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow 1 - \sin x \in \left[ {0;2} \right]\)
Điều kiện xác định: \(1 - \sin x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \)
\(\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án C.
Câu 14:
Ta có: \(y = {\sin ^2}x - 4\sin x - 5 \)\(= \left( {{{\sin }^2}x - 4\sin x + 4} \right) - 9 \)\(= {\left( {\sin x - 2} \right)^2} - 9\)
+ \(\sin x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \sin x - 2 \in \left[ { - 3; - 1} \right] \)
\(\Leftrightarrow {\left( {\sin x - 2} \right)^2} \in \left[ {1;9} \right]\)
Khi đó \(y \ge 1 - 9 = - 8\)
Chọn đáp án D.
Câu 15:
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, do đó ta kiểm tra hàm số chẵn ở mỗi đáp án.
Dễ thấy hàm số \(y = - 2\cos x\) là hàm chẵn nên nhận trục tung làm trục đối xứng.
Chọn đáp án D.
Câu 16:
Ta có: \(2{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \cos x\\2\sin x = - 3\cos x\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - \dfrac{3}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án A.
Câu 17:
Ta có: \(\cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án B.
Câu 18:
Ta có: \(y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \)
\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\\
\Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2
\end{array}\)
\(\Rightarrow y \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)
Chọn đáp án D.
Câu 19:
Ta có: \(\sin x = \cos x \Leftrightarrow \tan x = 1 \)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án B.
Câu 20:
Đồ thị hình bên là của hàm số \(y = \cos x\)
Chọn đáp án D.
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 21:
\(a) \sin 3x - \cos 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = \cos 2x \)\(\Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\
3x = \pi - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{{10}} + k\dfrac{{2\pi }}{5}}\\{x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm: \(x = \dfrac{\pi }{{10}} + k\dfrac{{2\pi }}{5};\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\)
\(b) \dfrac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{{\sin x - \cos \dfrac{\pi }{4}}} = 0 \, (1)\)
ĐK: \(\sin x - \cos \dfrac{\pi }{4} \ne 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 0 \\\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0 \\\Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{3}\sin x + \sin \dfrac{\pi }{3}\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \sin (x + \dfrac{\pi }{3}) = 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = k\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k\pi \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm: \(x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k\pi \)
Câu 22:
\(2{\cos ^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - 2x} \right) + \sqrt 3 \cos 4x = 4{\cos ^2}x - 1\)
\( \Leftrightarrow 1 + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - 4x} \right) + \sqrt 3 \cos 4x = 4{\cos ^2}x - 1\)\(\Leftrightarrow \sin 4x + \sqrt 3 \cos 4x = 2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 4x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 4x = \cos 2x \\\Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi }{6}\sin 4x + \cos \dfrac{\pi }{6}\cos 4x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {4x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \cos 2x \end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x - \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\
4x - \frac{\pi }{6} = - 2x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
6x = \frac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi }\\{x = \dfrac{\pi }{{36}} + k\dfrac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ;\,x = \dfrac{\pi }{{36}} + k\dfrac{\pi }{3}\)
