Đề bài
Cho tứ diện ABCD và ba điểm P,Q,R lần lượt trên ba cạnh AB,CD,BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây.
a) PR song song với AC
b) PR cắt AC
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng):
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: {(ABC)∩(ADC)=AC(ABC)∩(PRQ)=PR(ADC)∩(PRQ)=dAC//PR ⇒AC//PR//d.
Mà Q∈CD⊂(ADC) và Q∈(PRQ) nên Q∈d hay d là đường thẳng đi qua Q và song song AC.
Trong (ADC), qua Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại S.
Vậy S=AD∩(PQR).
Cách khác:
Có thể sử dụng hệ quả sau: "Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó".
mp (PQR) và mp (ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song PR//AC.
⇒(PQR)∩(ACD)=Qt là đường thẳng song song với AC và PR.
Gọi Qt∩AD=S
⇒S=AD∩(PQR)..
b) Gọi I là giao điểm của PR với AC.
Ta có: {(ABC)∩(ADC)=AC(ABC)∩(PRQ)=PR(ADC)∩(PRQ)=dAC∩PR={I} ⇒AC,PR,d đồng quy tại I.
Trong (ADC), kéo dài IQ cắt AD tại S.
Khi đó S∈AD và S∈(PQR) nên S=AD∩(PQR).
