Đề bài
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi nn cạnh là n(n−3)2n(n−3)2
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n∈N∗, n≥4.
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu số đường chéo của đa giác n cạnh là Cn.
Ta chứng minh Cn=n(n−3)2 (1) với mọi n∈N∗, n≥4.
*) Với n=4, ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.
Mặt khác 4(4−3)2=2 nên (1) đúng với n=4.
Vậy khẳng định đúng với n=4.
*) Giả sử (1) đúng với n=k≥4, tức là Ck=k(k−3)2
Vậy số đường chéo của đa giác k+1 cạnh là
k(k−3)2+k−2+1
=k2−3k2+k−1
=k2−3k+2k−22
=k2−k−22
=(k+1)(k−2)2
=(k+1)((k+1)−3)2
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k+1 cạnh
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Chú ý:
Trên đây là cách chứng minh bằng quy nạp, các em có thể dễ dàng chứng minhcông thức đó bằng kiến thức chương 2 như sau:
Cách 2: Đa giác lồi n cạnh có n đỉnh.
Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác.
⇒ Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng:
C2n=n!2!(n−2)!=n(n−1)(n−2)!2(n−2)!=n(n−1)2
⇒ Số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:
n(n−1)2−n=n2−n−2n2=n2−3n2=n(n−3)2
Vậy ta có đpcm.
