Đề bài
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi \(n\) cạnh là \(\displaystyle {{n(n - 3)} \over 2}\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu số đường chéo của đa giác \(n\) cạnh là \(C_n\).
Ta chứng minh \(\displaystyle C_n = {{n(n - 3)} \over 2}\) (1) với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).
*) Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.
Mặt khác \(\displaystyle {{4(4 - 3)} \over 2} = 2\) nên (1) đúng với \(n = 4\).
Vậy khẳng định đúng với \(n= 4\).
*) Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là \(C_k = \displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\)
Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là
\(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}+ k - 2 + 1\)
\( = \dfrac{{{k^2} - 3k}}{2} + k - 1 \)
\(= \dfrac{{{k^2} - 3k + 2k - 2}}{2}\)
\(\displaystyle ={{{k^2} - k - 2} \over 2} \)
\( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}{2}\)
\(\displaystyle = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Chú ý:
Trên đây là cách chứng minh bằng quy nạp, các em có thể dễ dàng chứng minhcông thức đó bằng kiến thức chương 2 như sau:
Cách 2: Đa giác lồi \(n\) cạnh có \(n\) đỉnh.
Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác.
⇒ Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng:
\(C_n^2 = \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\)\( = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)
⇒ Số đường chéo của đa giác lồi có \(n\) cạnh là:
\(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \dfrac{{{n^2} - n - 2n}}{2}\)\( = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{2} = \dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)
Vậy ta có đpcm.
