Đề bài
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(3a\), cạnh bên bằng \(2a\). Tính khoảng cách từ \(S\) tới mặt đáy \((ABC)\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi H là tâm tam giác đều ABC \( \Rightarrow SH \, \bot \, \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = SH\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông để tính \(SH\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) ta có \(SH \, \bot \, (ABC) \)
\(\Rightarrow d(S,(ABC))=SH\)
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\).
\(\Rightarrow BN = NC = \dfrac{{3a}}{2}\)
Tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) nên:
\(AN = \sqrt {A{B^2} - B{N^2}} \) \(= \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2}\)
\(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) \(\Rightarrow AH=\dfrac 2 3 .AN = a\sqrt 3 \)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(SAH\) ta có:
\(SH = \sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4a^{2}-(a\sqrt{3})^{2}}=a.\)
Vậy \(d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = SH = a\).
