Đề bài
Cho hai hàm số: \(y = {1 \over {x\sqrt 2 }};y = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }}\) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Giải phương trình hoành độ giao điểm, xác định hoành độ giao điểm.
+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
+) Nhận xét về các hệ số góc của hai tiếp tuyến trên.
Lời giải chi tiết
\({C_1}:y = f(x) = {1 \over {x\sqrt 2 }} \Rightarrow f'(x) = - {1 \over {{x^2}\sqrt 2 }}\)
\({C_2}:y = g(x) = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow g'(x) = {{2x} \over {\sqrt 2 }} = x\sqrt 2 \)
Phương trình hoành độ giao điểm của \({C_1}\) và \({C_2}\) là:
\({1 \over {x\sqrt 2 }} = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne 0 \hfill \cr
{x^3} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = {1 \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy giao điểm của \({C_1}\) và \({C_2}\) là \(A(1,{{\sqrt 2 } \over 2})\)
+) Phương trình tiếp tuyến của \({C_1}\) tại điểm A là:
\(\eqalign{
& y - {{\sqrt 2 } \over 2} = f'(1)(x - 1) \cr&\Leftrightarrow y - {{\sqrt 2 } \over 2} = - {1 \over {\sqrt 2 }}(x - 1) \cr
& \Leftrightarrow y = - {x \over {\sqrt 2 }} + \sqrt 2 \cr} \)
Tiếp tuyến này có hệ số góc \(k_1= {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}\)
+) Phương trình tiếp tuyến của \({C_2}\) tại điểm \(A\) là:
\(\eqalign{
& y - {{\sqrt 2 } \over 2} = g'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y - {{\sqrt 2 } \over 2} = \sqrt 2 (x - 1) \cr
& \Leftrightarrow y = x\sqrt 2 - {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
Tiếp tuyến này có hệ số góc \(k_2= \sqrt 2\)
+) Ta có: \({k_1}.{k_2} = ( - {1 \over {\sqrt 2 }})(\sqrt 2 ) = - 1\)
⇒ Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau
⇒ góc giữa hai tiếp tuyến bằng \(90^0\).
