Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (AB′C′D) vuông góc với mặt phẳng (BCD′A′);
b) Đường thẳng AC′ vuông góc với mặt phẳng (A′BD).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh AB′⊥(BCD′A′)
Sử dụng lý thuyết: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì mọi mặt phẳng chứa nó đều vuông góc với mặt phẳng đã cho.
b) Chứng minh AC′⊥BD;AC′⊥A′D
Sử dụng lý thuyết: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết
a)
{BC⊥ABBC⊥BB′⇒BC⊥(ABB′A′)
⇒BC⊥AB′;
{AB′⊥BCAB′⊥BA′BC∩BA′=BBC,BA′⊂(BCD′A′) ⇒AB′⊥(BCD′A′)
Ta có AB′⊂(AB′C′D)⇒(AB′C′D)⊥(BCD′A′)
b) +) AA′⊥(ABCD)⇒AA′⊥BD
Mà BD⊥AC⇒BD⊥(ACC′A′)
AC′⊂(ACC′A′) nên suy ra BD⊥AC′ (1)
+) AB⊥(ADD′A′)⇒AB⊥A′D
Mà AD′⊥A′D⇒A′D⊥(ABC′D′)
Ta có AC′⊂(ABC′D′)⇒A′D⊥AC′ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AC′⊥(A′BD).
