Đề bài
Cho bốn điểm A,B,C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC,GD lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD,CDA,ABD,ABC. Chứng minh rằng, AGA,BGB,CGC,DGD đồng quy.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sủ dụng kết quả bài tập 3:
Cho ba đường thẳng d1,d2,d3 không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Khi đó ba đường thẳng trên đồng quy.
Lời giải chi tiết
Gọi N là trung điểm CD.
+ GA là trọng tâm ΔBCD
⇒ GA thuộc trung tuyến BN⊂(ANB)
⇒ AGA⊂(ANB)
GB là trọng tâm ΔACD
⇒ GB thuộc trung tuyến AN⊂(ANB)
⇒ BGB⊂(ANB).
Trong (ANB):AGA không song song với BGB
⇒ AGA cắt BGB tại O
+ Chứng minh tương tự: BGB cắt CGC;CGC cắt AGA.
+ CGC không nằm trong (ANB)⇒AGA;BGB;CGC không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.
Áp dụng kết quả bài 3 ⇒AGA;BGB;CGC đồng quy tại O
+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: AGA;BGB;DGD đồng quy tại O
Vậy AGA;BGB;CGC;DGD đồng quy tại O (đpcm).
