Đề bài
Cho bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \({G_{A}}^{}\), \({G_{B}}^{}\), \({G_{C},{G_{D}}^{}}^{}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, ABD, ABC\). Chứng minh rằng, \(A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}\) đồng quy.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sủ dụng kết quả bài tập 3:
Cho ba đường thẳng \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Khi đó ba đường thẳng trên đồng quy.
Lời giải chi tiết
Gọi \(N\) là trung điểm \(CD\).
+ \({G_A}\) là trọng tâm \(\Delta BCD\)
⇒ \({G_A}\) thuộc trung tuyến \(BN\; \subset \;\left( {ANB} \right)\)
⇒ \({AG_A} ⊂ (ANB)\)
\({G_B}\) là trọng tâm \(ΔACD\)
⇒ \({G_B}\) thuộc trung tuyến \(AN ⊂ (ANB)\)
⇒ \({BG_B} ⊂ (ANB).\)
Trong \(\left( {ANB} \right):{\rm{ }}A{G_A}\) không song song với \({BG_B}\)
⇒ \({AG_A}\) cắt \({BG_B}\) tại \(O\)
+ Chứng minh tương tự: \({BG_B}\) cắt \(C{G_C};{\rm{ }}C{G_C}\) cắt \({AG_A}\).
+ \(C{G_C}\) không nằm trong \(\left( {ANB} \right)\; \Rightarrow \;A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}C{G_C}\;\) không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.
Áp dụng kết quả bài 3 \( \Rightarrow {\rm{ }}A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}C{G_C}\) đồng quy tại \(O\)
+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: \(\;A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}D{G_D}\) đồng quy tại \(O\)
Vậy \(A{G_A};{\rm{ }}B{G_B}\;;{\rm{ }}C{G_C};{\rm{ }}D{G_D}\) đồng quy tại \(O\) (đpcm).
