Đề bài
Mã đề:111
I. TRẮC NGHIỆM(5 điểm)
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {2;5} \right)\). Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\) biến điểm \(A\) thành điểm \(A'\) có tọa độ là.
A. \(A'\left( {3;7} \right)\) B. \(A'\left( {3;1} \right)\)
C. \(A'\left( {4;7} \right)\) D. \(A'\left( {1;6} \right)\)
Câu 2. Số các sắp xếp 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ vào một bàn dài có 5 ghế ngồi là
A. \(3!2!\) B. \(5!\) C. \(3!2!2!\) D. 5
Câu 3. Phương trình \({\cos ^2}x + 2\cos x - 3 = 0\) có nghiệm là
A. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
B. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
D. \(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M\left( { - 10;1} \right)\) và \(M'\left( {3;8} \right)\). Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) biến điểm \(M\) thành điểm \(M'\). Khi đó vectơ \(\overrightarrow v \) có tọa độ là
A. \(\overrightarrow v = \left( {13; - 7} \right)\)
B. \(\overrightarrow v = \left( { - 13; - 7} \right)\)
C. \(\overrightarrow v = \left( { - 13;7} \right)\)
D. \(\overrightarrow v = \left( {13;7} \right)\)
Câu 5. Có 8 quả ổi và 6 quả xoài. Có bao nhiêu cách chọn ra một quả trong các quả ấy?
A. 48 B. 24 C. 14 D. 18
Câu 6. Phương trình \(\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 0\) có nghiệm là
A. \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
B. \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)
C. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
D. \(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {3;0} \right)\). Phép quay tâm \(O\) góc quay \(90^\circ \) biến điểm A thành điểm nào sau đây?
A. \(M\left( { - 3;0} \right)\) B. \(N\left( {3;3} \right)\)
C. \(P\left( {0; - 3} \right)\) D. \(Q\left( {0;3} \right)\)
Câu 8. Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) có thứ tự như hình vẽ, gọi I là trung điểm BC. ảnh của điểm I qua phép quay tâm \(O\), góc quay \(90^\circ \) là
A. Điểm C.
B. Điểm B
C. Trung điểm cạnh CD
D. Trung điểm cạnh AB.
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phép vị tự tâm O tỉ số \( - 2\) biến điểm \(A\left( {1; - 3} \right)\) thành điểm \(A'\) có tọa độ là
A.\(A'\left( { - 2; - 6} \right)\) B. \(A'\left( { - 2;6} \right)\)
C. \(A'\left( {2;6} \right)\) D. \(A'\left( {1;3} \right)\)
Câu 10. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết công thức số hạng tổng quát \({u_n} = 2n - 3\). Số hạng thứ 10 của dãy số bằng
A. 17 B. 20 C. 10 D. 7
Câu 11. Khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {4x + 5} \right)^{2019}}\) có bao nhiêu số hạng?
A. 2018 B. 2020 C. 2019 D. 2021
Câu 12. Phép vị tự tâm O tỉ số \(k\left( {k \ne 0} \right)\) biến mỗi điểm \(M\) thành điểm \(M'\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(\overrightarrow {OM} = \dfrac{1}{k}\overrightarrow {OM'} \)
B. \(\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow {OM'} \)
C. \(\overrightarrow {OM} = - k\overrightarrow {OM'} \)
D. \(\overrightarrow {OM} = - \dfrac{1}{k}\overrightarrow {OM'} \)
Câu 13. Trên giá sách có 10 quyến sách tiếng Việt khác nhau, 8 quyến sách tiếng Anh khác nhau, 6 quyển sách tiếng Pháp khác nhau. Số cách chọn ba quyển sách tiếng khác nhau là
A. 480 B. 42
C. 188 D. 24
Câu 14. Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất một lần. Xác suất hiện mặt hai chấm là
A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(\dfrac{1}{3}\) C. \(\dfrac{1}{6}\) D. \(\dfrac{1}{4}\)
Câu 15. Cho hình bình hành \(ABCD\). Phép tình tiến \({T_{\overrightarrow {DA} }}\) biến
A. C thành A
B. A thành D
C. B thành C
D. C thành B
Câu 16. Nghiệm của phương trình \(\cos x = 1\) là
A. \(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
B. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
D. \(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Câu 17. Số cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh là
A. \(10\) B. \(10!\) C. \(A_{10}^2\) D. \(C_{10}^2\)
Câu 18. Tập xác định của hàm số \(y = \tan x\) là
A. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
B. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
D. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu 19. Nghiệm của phương trình \(\tan x = 1\) là
A. \(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
B. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
D. \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Câu 20. Khi gieo một đồng tiền (có hai mặt S,N) cân đối và đồng chất hai lần. Không gian mẫu của phép thử là
A. \(\left\{ {SS,NN,SN} \right\}\)
B. \(\left\{ {SS,NN,NS} \right\}\)
C.\(\left\{ {SS,NN,SN,NS} \right\}\)
D. \(\left\{ {S,N} \right\}\)
Câu 21. Cho khai triển
\(\begin{array}{l}{\left( {2x - {y^2}} \right)^6} = 64C_6^0{x^6} - 32C_6^1{x^5}{y^2}\\ + 16C_6^2{x^4}{y^4} + ... + 4C_6^4{x^2}{y^8} \\- 2C_6^5x{y^{10}} + C_6^6{y^{12}}\end{array}\)
Số hạng trong dấu \(...\)là
A. \( - C_6^3{\left( {2x} \right)^3}{y^6}\) B. \(8C_6^3{x^3}{y^6}\)
C. \( - 8{x^3}{y^6}\) D. \(64{x^3}{y^6}\)
Câu 22. Hai xạ thủ độc lập bắn vào mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ nhất là \(0,7\). Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ hai là \(0,8\). Xác suất để mục tiêu bị bắn trúng là
A. \(P = 0,94\) B. \(P = 0,56\)
C. \(P = 0,08\) D. \(P = 0,06\)
Câu 23. Có 20 người tham gia một buổi tiệc, trong 20 người đó có 4 cặp vợ chồng. Ban tổ chức cần chọn 3 người tham gia một trò chơi. Có bao nhiêu cách chọn sao cho 3 người đó không có 2 người nào là vợ chồng?
A. 1685 B. 1684 C. 1068 D. 988
Câu 24. Cho một đa giác đều có 32 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh từ 32 đỉnh của đa giác đều. Xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông, không cân là
A. \(\dfrac{{125}}{{7854}}\) B. \(\dfrac{{14}}{{155}}\)
C. \(\dfrac{{30}}{{199}}\) D. \(\dfrac{6}{{199}}\)
Câu 25. Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm G. Gọi M,N,P lần lươt là trung điểm của \(AB,BC,CA\). Phép vị tự nào sau đây biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta NPM\)?
A. \({V_{\left( {G, - \frac{1}{2}} \right)}}\) B. \({V_{\left( {A, - \frac{1}{2}} \right)}}\)
C. \({V_{\left( {G, - 2} \right)}}\) D. \({V_{\left( {M,\frac{1}{2}} \right)}}\)
II. TỰ LUẬN (5 điểm)
Câu 1 (1 điểm). Giải các phương trình sau:
a) \(2\cos x - \sqrt 3 = 0\)
b) \(\sqrt 3 \cos x - \sin x = 1\)
Câu 2 (1 điểm). Tìm số hạng chứa \({x^4}{y^5}\) trong khai triển \({\left( {x + 2y} \right)^9}\) thành đa thức.
Câu 3 (0,5điểm). Có một hộp chứ 6 viên bi đỏ và 8 viên bi xanh. Lấy 4 vuên bi từ hộp đó. Tính xác suất để 4 viên bi được lấy ra có đúng 2 viên bi xanh.
Câu 4 (1 điểm). Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có công thức số hạng tổng quát \({u_n} = \dfrac{{2n + 5}}{{{n^2} + 1}}\)
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
b) Số \(\dfrac{{35}}{{226}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
Câu 5 (1,5 điểm). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SC. Gọi I là giao điểm của \(AM\) và SO. Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), đường thẳng qua điểm I và song song với BD cắt SB và SD lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh rằng \(MO//\left( {SAD} \right)\).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{\rm{A}}EMF} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
c) Gọi \({S_{SEM}}\) và \({S_{SBC}}\) lần lượt là diện tích của \(\Delta SEM\) và \(\Delta SBC\). Tính tỉ số \(\dfrac{{{S_{SEM}}}}{{{S_{SBC}}}}\).
Lời giải chi tiết
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
I. TRẮC NGHIỆM
| 1A | 2B | 3D | 4D | 5C |
| 6B | 7D | 8C | 9B | 10A |
| 11B | 12A | 13A | 14C | 15D |
| 16D | 17D | 18B | 19C | 20C |
| 21A | 22A | 23C | 24B | 25A |
Câu 1(NB)
Phương pháp:
\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow AA' = \overrightarrow v \)
Giải:
\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow AA' = \overrightarrow v \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_A} + 1 = 3\\{y_{A'}} = {y_A} + 2 = 7\end{array} \right.\end{array}\)
Chọn A
Câu 2(NB)
Phương pháp:
Xếp n phần tử vào n vị trí có \(n!\) cách xếp.
Giải:
Có tất cả 5 học sinh. Xếp 5 học sinh vào 5 vị trí: Có 5! Cách xếp
Chọn B
Câu 3(TH)
Phương pháp:
Đặt \(\cos x = t\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\). Đưa phương trình thành phương trình ẩn t. Giải t rồi tìm x.
Giải:
Đặt \(\cos x = t\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\). Phương trình ban đầu trở thành:
\(\begin{array}{l}{t^2} + 2t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\left( L \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Chọn D.
Câu 4 (TH)
Phương pháp:
\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow AA' = \overrightarrow v \)
Giải:
\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \\\overrightarrow {MM'} = \left( {13;7} \right) \Rightarrow \overrightarrow v = \left( {13;7} \right)\end{array}\)
Chọn D.
Câu 5(TH)
Phương pháp:
Số cách chọn k phần tử trong n phần tử \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Giải:
Có 8+6=14 quả.
Có \(C_{14}^1 = 14\) cách chọn 1 quả.
Chọn C.
Câu 6 (TH)
Phương pháp:
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Giải:
\(\begin{array}{l}\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{3} = k\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Chọn B
Câu 7 (TH)
Phương pháp:
\(A\left( {x;y} \right)\)
\({Q_{\left( {O,90^\circ } \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow A'\left( { - y;x} \right)\)
Giải:
\(A\left( {x;y} \right)\)
\(\begin{array}{l}{Q_{\left( {O,90^\circ } \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow A'\left( { - y;x} \right)\\ \Rightarrow A'\left( {0;3} \right)\end{array}\)
Chọn D
Câu 8 (NB)
Phương pháp:
Xác định chiều quay và góc quay.
Giải:
Chiều quay ngược chiều kim đồng hồ, góc \(90^\circ \) nên ảnh của I là trung điểm của cạnh CD.
Chọn C.
Câu 9
Phương pháp:
\({V_{\left( {O,k} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \)
Giải:
\(\begin{array}{l}{V_{\left( {O, - 2} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {OA'} = - 2\overrightarrow {OA} \\ \Leftrightarrow A'\left( { - 2;6} \right)\end{array}\)
Chọn B
Câu 10(TH)
Phương pháp:
Thay n vào \({u_n}\) để tìm \({u_n}\).
Giải:
Thay \(n = 10\) vào \({u_n} = 2n - 3\) ta được: \({u_{10}} = 2.10 - 3 = 17\)
Chọn A.
Câu 11 (NB)
Phương pháp:
\({\left( {a + b} \right)^n}\) có \(n + 1\) số hạng.
Giải:
Có 2029+1=2020 số hạng.
Chọn B.
Câu 12 (TH)
Phương pháp:
\({V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \)
Giải:
\(\begin{array}{l}{V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \dfrac{1}{k}\overrightarrow {OM'} \end{array}\)
Chọn A.
Câu 13 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc nhân.
Giải:
Có 10 cách chọn sách Tiếng Việt.
Có 8 cách chọn sách Tiếng Anh.
Có 6 cách chọn sách Tiếng Pháp.
Theo quy tắc nhân, có 10.8.6=480 cách chọn 3 quyển sách khác loại.
Chọn A.
Câu 14 (VD)
Phương pháp:
Gọi A là biến cố mặt 2 chấm xuất hiện.
Tính \(\left| \Omega \right|,\left| {{\Omega _A}} \right|\)
Giải:
Gọi A là biến cố: “mặt 2 chấm xuất hiện”.
Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\) có 6 phần tử.
Có 1 khả năng xuất hiện mặt hai chấm nên \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 1\)
\(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{1}{6}\)
Chọn C
Câu 15 (TH)
Phương pháp:
\(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \)
Giải:
\(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \)
\( \Rightarrow {T_{\overrightarrow {DA} }}\left( C \right) = B\)
Chọn D
Câu 16 (TH)
Phương pháp:
\(\begin{array}{l}\cos x = a\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos a + k2\pi \\x = - \arccos a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Giải:
\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn D
Câu 17 (TH)
Phương pháp:
Số cách chọn k phần tử trong n phần tử \(C_n^k\)
Giải:
Số cách chọn 2 phần tử trong 10 phần tử \(C_{10}^2\)
Chọn D
Câu 18 (TH)
Phương pháp:
Tìm điều kiện xác định của \(\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\)
Giải:
\(\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\( \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Chọn B
Câu 19 (TH)
Phương pháp:
\(\tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Giải:
\(\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Chọn C
Câu 20 (NB)
Phương pháp:
Liệt kê các khả năng.
Giải:
Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {SS,NN,SN,NS} \right\}\)
Chọn C.
Câu 21 (TH)
Phương pháp:
Khai triển nhị thức Niutơn
Giải:
Số hạng trong dấu ... là \(C_6^3{\left( {2x} \right)^3}{\left( { - {y^2}} \right)^3} = - C_6^3{\left( {2x} \right)^3}{y^6}\)
Chọn A.
Câu 22 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc nhân xác suất tính xác suất để mục tiêu không bị bắn trúng lần nào.
Và sử dụng phần bù.
Giải:
Xác suất để mục tiêu không bị bắn trúng là \(0,3.0,2 = 0,06\)
\(P = 1 - 0,06 = 0,94\)
Chọn A.
Câu 23 (TH)
Phương pháp:
Tính số cách chọn có 1 cặp vợ chồng.
Tính phần bù.
Giải:
Tính số cách chọn 3 người trong đó có 1 cặp vợ chồng.
Có 4 cặp vợ chồng.
Với mỗi cặp vợ chồng, có 20-2=18 cách chọn người thứ 3.
Có 4.18=72 cách chọn.
Có \(C_{20}^3 = 1140\) cách chọn 3 người bất kì.
Vậy có 1140-72=1068 cách chọn mà trong đó không có cặp vợ chồng nào.
Chọn C.
Câu 24 (VD)
Phương pháp:
Tính không gian mẫu. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Tính số đường kính.
Giải:
Gọi A là biến cố “3 đỉnh không là tam giác vuông, không cân”
Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{32}^3 = 4960\)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Tam giác vuông phải có cạnh huyền là đường kính của đường tròn.
Đa giác đều 32 đỉnh có 16 cách chọn đường kính phân biệt.
Với mỗi đường kính, có \(32 - 2 = 30\) tam giác vuông, trong đó có 2 tam giác vuông cân. Vậy có 28 tam giác vuông, không cân.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 16.28 = 448\)
\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{448}}{{4960}} = \dfrac{{14}}{{155}}\)
Chọn B
Câu 25 (VD)
Phương pháp:
\({V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M'\)
Tâm vị tự luôn thuộc đường thẳng nối 2 điểm M,M’.
Xác định tâm vị tự và ảnh của A,B,C.
Giải:
Gọi \({V_{\left( {O,k} \right)}}\) là phép vị tự tâm O tỷ số k là phép vị tự thỏa mãn bài toán.
Khi đó \(O\) là giao của \(AN,BP,CM\)\( \Rightarrow O \equiv G\)\( \Rightarrow \overrightarrow {GN} = k\overrightarrow {GA} \)
Mà \(\overrightarrow {GN} = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {GA} \Rightarrow k = - \dfrac{1}{2}\)
Chọn A.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Câu 1 (VD)
Phương pháp:
a) Đưa về phương trình \(\cos x = a\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos a + k2\pi \\x = - \arccos a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(a\cos x + b\sin x = c\)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} > {c^2}\)
Chia 2 vế phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), đưa về phương trình \(\cos x = a\)
Giải:
a)
\(\begin{array}{l}2\cos x - \sqrt 3 = 0\\ \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}\sqrt 3 \cos x - \sin x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \dfrac{1}{2}\sin x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{6} = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Câu 2 (VD)
Phương pháp:
\({\left( {x + y} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{y^k}} \)
Tìm k, tìm hệ số.
Giải:
\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2y} \right)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{x^{9 - k}}{{\left( {2y} \right)}^k}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{{.2}^k}{x^{9 - k}}.{y^k}} \end{array}\)
Số hạng chứa \({x^4}{y^5}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}9 - k = 4\\k = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 5\)
Hệ số của \({x^4}{y^5}\) là \(C_9^5{.2^5} = 4032\).
Câu 3(VD)
Phương pháp:
Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán.
Tính \(n\left( \Omega \right),n\left( A \right)\).
\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Giải:
Gọi A là biến cố có 2 viên bi xanh.
Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{14}^4 = 1001\)
Trong 4 viên bi có đúng 2 bi xanh thì có 2 bi đỏ. Có \(C_8^2\) cách chọn bi xanh, có \(C_6^2\) cách chọn bi đỏ.
\(n\left( A \right) = C_8^2.C_6^2 = 28.15 = 420\)
\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{60}}{{143}}\)
Câu 4(VD)
Phương pháp:
a) Thay lần lượt \(n = 1;2;3;4;5\) vào \({u_n}\) tính \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5}\).
b) Giải phương trình \(\dfrac{{2n + 5}}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{35}}{{226}}\)
Giải:
a)
\(\begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{{2.1 + 5}}{{{1^2} + 1}} = \dfrac{7}{2};{u_2} = \dfrac{9}{5}\\{u_3} = \dfrac{{11}}{{10}};{u_4} = \dfrac{{13}}{{17}};{u_5} = \dfrac{{15}}{{26}}\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{2n + 5}}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{35}}{{226}} \Leftrightarrow 35\left( {{n^2} + 1} \right) = 226\left( {n + 5} \right)\\ \Leftrightarrow 35{n^2} - 452n - 1095 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 15\\n = - \dfrac{{73}}{{35}}\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 15\end{array}\)
Câu 5(VD)
Phương pháp:
a) Chứng minh \(MO\) song song với một đường thẳng trong \(\left( {SAD} \right)\).
b) Tìm giao điểm của \(MF,CD\).
c) Tính \(\dfrac{{SE}}{{SB}},\dfrac{{SM}}{{SC}},{S_\Delta } = \dfrac{1}{2}ab\sin C\)
Giải:
a)\(MO\) là đường trung bình \(\Delta SAC\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MO//SA \subset \left( {SAC} \right)\\MO \not\subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow MO//\left( {SAD} \right)\)
b)
Gọi N là giao điểm của \(MF,CD\).
\( \Rightarrow N \in \left( {AEMF} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)
Mà \(A \in \left( {AEMF} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {AEMF} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AN\)
c)
AM, SO là đường trung tuyến của tam giác SAC. Suy ra I là trọng tâm
\( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{2}{3}\)
\(\begin{array}{l}{S_{SEM}} = \dfrac{1}{2}SE.SM.\sin S\\{S_{SBC}} = \dfrac{1}{2}.SB.SC.\sin S\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{SEM}}}}{{{S_{SBC}}}} = \dfrac{{SE.SM}}{{SB.SC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)
