Video hướng dẫn giải
Giải các phương trình sau:
LG a
2cos2x–3cosx+1=0
Phương pháp giải:
Đặt t=cosx, đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
Lời giải chi tiết:
2cos2x–3cosx+1=0
Đặt t=cosx với điều kiện −1≤x≤1, khi đó ta có:
2t2−3t+1=0⇔[t=1t=12
Với t=1, ta có: cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ \mathbb{Z}
Với t = {1 \over 2} ta có: \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = k2\pi ,x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}
LG b
25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25
Phương pháp giải:
Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25
⇔ 25(1-cos^2x) + 15.2sinxcosx + 9cos^2x= 25
\Leftrightarrow 25 - 25{\cos ^2}x + 30\sin x\cos x + 9{\cos ^2}x - 25 = 0
⇔ -25 cos^2x + 30sinxcosx + 9cos^2x = 0
⇔ -16cos^2x + 30sinxcosx = 0
\eqalign{ & \Leftrightarrow - 2\cos x(8\cos x - 15\sin x) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr 8\cos x - 15\sin x = 0 \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\8\cos x = 15\sin x\end{array} \right.\cr & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\frac{8}{{15}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos x = 0 \hfill \cr \tan x = {8 \over {15}} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr x = \arctan {8 \over {15}} + k\pi \hfill \cr} \right.,k \in \mathbb{Z} \cr}
Vậy nghiệm của phương trình là x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,x = \arctan \frac{8}{{15}} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)
LG c
2sinx + cosx = 1
Phương pháp giải:
Phương trình dạng a\sin x + b\cos x = c, chia cả 2 vế cho \sqrt {{a^2} + {b^2}}
Lời giải chi tiết:
Chia cả hai vế của phương trình cho \sqrt 5 , ta được:
{2 \over {\sqrt 5 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 5 }}\cos x = {1 \over {\sqrt 5 }} (*)
Vì {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = 1 nên tồn tại một góc α thỏa mãn:
\left\{ \matrix{ \sin \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr \cos \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr} \right.
Khi đó, phương trình (*) trở thành:
\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\sin x\sin \alpha + \cos x\cos \alpha = \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - \alpha = \alpha + k2\pi \\ x - \alpha = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\alpha + k2\pi \\ x = k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \end{array}
Vậy nghiệm của phương trình là: {x = 2\alpha + k2\pi ;x = k2\pi } (k \in Z).
LG d
sin x + 1,5cot x = 0
Phương pháp giải:
Biến đổi, quy đồng, đưa phương trình về dạng phương trình bậc cao đối với 1 hàm số lượng giác.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ \mathbb{Z}.
Phương trình đã cho biến đổi:
\eqalign{ & \sin x + {3 \over 2}.{{\cos x} \over {\sin x}}=0 \cr &\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 3\cos x = 0 \cr & \Leftrightarrow 2(1 - {\cos ^2}x) + 3\cos x = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 2 = 0 \,\,\,\,(*)\cr}
Đặt t = cosx với điều kiện -1 \le t \le 1
Khi đó, phương trình (*) trở thành:
2{t^2} - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 2 \hfill\,\,\,\text{(loại)} \cr t = {{ - 1} \over 2} \hfill \,\,\,(tm)\cr} \right.
Với t = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)
